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1979 AMC 12 Problema 30

Intenta el Problema 30 del 1979 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1979 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

30.

En △ABC,\triangle ABC, EE es el punto medio del lado BCBC y DD está sobre el lado AC.AC. Si la longitud de ACAC es 11 y ∠BAC=60∘,\angle BAC=60^\circ, ∠ABC=100∘,\angle ABC=100^\circ, ∠ACB=20∘,\angle ACB=20^\circ, y ∠DEC=80∘,\angle DEC=80^\circ, entonces el área de △ABC\triangle ABC más el doble del área de △CDE\triangle CDE es

In △ABC,\triangle ABC, EE is the midpoint of side BCBC and DD is on side AC.AC. If the length of ACAC is 11 and ∠BAC=60∘,\angle BAC=60^\circ, ∠ABC=100∘,\angle ABC=100^\circ, ∠ACB=20∘,\angle ACB=20^\circ, and ∠DEC=80∘,\angle DEC=80^\circ, then the area of △ABC\triangle ABC plus twice the area of △CDE\triangle CDE equals

14cos⁡10∘\frac14\cos10^\circ

38\frac{\sqrt3}{8}

14cos⁡40∘\frac14\cos40^\circ

14cos⁡50∘\frac14\cos50^\circ

18\frac18

Respuesta: B
Conceptos:área del triángulocongruencia (geometría)semejanzatriángulo equilátero
Nivel de dificultad: 2200
Pista pequeña:

Prolonga ABAB hasta FF de modo que AF=ACAF=AC, formando un triángulo equilátero

Extend ABAB to FF so that AF=ACAF=AC, creating an equilateral triangle

Pista grande:

Elige GG en BFBF con ∠BCG=20∘\angle BCG=20^\circ; compara △BCG\triangle BCG con △DCE\triangle DCE

Choose GG on BFBF with ∠BCG=20∘\angle BCG=20^\circ; compare △BCG\triangle BCG with △DCE\triangle DCE

Solución:

Prolonga ABAB más allá de BB hasta FF con AF=AC=1.AF=AC=1. Entonces △ACF\triangle ACF es equilátero. Elige GG en BFBF de modo que ∠BCG=20∘.\angle BCG=20^\circ. Las condiciones angulares dan △FGC≅△ABC,\triangle FGC\cong\triangle ABC, mientras que △BCG∼△DCE.\triangle BCG\sim\triangle DCE. Como EE es el punto medio de BC,BC, el factor de semejanza es 2,2, así que [BCG]=4[CDE]. [BCG]=4[CDE]. Al descomponer el triángulo equilátero se obtiene 34=2[ABC]+4[CDE]. \frac{\sqrt3}{4} =2[ABC]+4[CDE]. Al dividir entre 22, resulta [ABC]+2[CDE]=38.[ABC]+2[CDE]=\frac{\sqrt3}{8}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Extend ABAB through BB to FF with AF=AC=1.AF=AC=1. Then △ACF\triangle ACF is equilateral. Choose GG on BFBF so that ∠BCG=20∘.\angle BCG=20^\circ. The angle conditions give △FGC≅△ABC,\triangle FGC\cong\triangle ABC, while △BCG∼△DCE.\triangle BCG\sim\triangle DCE. Since EE is the midpoint of BC,BC, the similarity scale is 2,2, so [BCG]=4[CDE]. [BCG]=4[CDE]. Decomposing the equilateral triangle gives 34=2[ABC]+4[CDE]. \frac{\sqrt3}{4} =2[ABC]+4[CDE]. Dividing by 22 yields [ABC]+2[CDE]=38.[ABC]+2[CDE]=\frac{\sqrt3}{8}.

Therefore, the correct answer is B.

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