Question

Si $R_n=\frac12(a^n+b^n),$ donde $a=3+2\sqrt2,$ $b=3-2\sqrt2,$ y $n=0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ entonces $R_{12345}$ es un entero. Su dígito de las unidades es

If $R_n=\frac12(a^n+b^n),$ where $a=3+2\sqrt2,$ $b=3-2\sqrt2,$ and $n=0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ then $R_{12345}$ is an integer. Its units digit is

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Respuesta: E

Conceptos:recurrence aritmética modular conjugates

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Usa $a+b=6$ y $ab=1$ para obtener una recurrencia para $R_n$

Use $a+b=6$ and $ab=1$ to obtain a recurrence for $R_n$

Pista grande:

Calcula la recurrencia módulo $10$ y busca un período corto

Compute the recurrence modulo $10$ and look for a short period

Solución:

Como $a,b$ son raíces de $t^2-6t+1=0,$ $R_n=6R_{n-1}-R_{n-2}.$ Comenzando con $R_0=1,\ R_1=3,$ los dígitos de las unidades son $1,3,7,9,7,3,1,\ldots,$ con período $6.$ Como $12345\equiv3\pmod6,$ el dígito de las unidades es el mismo que el de $R_3,$ es decir, $9.$

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Because $a,b$ are roots of $t^2-6t+1=0,$ $R_n=6R_{n-1}-R_{n-2}.$ Starting with $R_0=1,\ R_1=3,$ the units digits are $1,3,7,9,7,3,1,\ldots,$ with period $6.$ Since $12345\equiv3\pmod6,$ the units digit is the same as that of $R_3,$ namely $9.$

Thus the correct answer is E.

1990 AMC 12 Problema 30

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 30 en otros años