Soluciones del 1990 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Si $\dfrac{\frac{x}{4}}{2}=\dfrac4{\frac{x}{2}},$ entonces $x=$

If $\dfrac{\frac{x}{4}}{2}=\dfrac4{\frac{x}{2}},$ then $x=$

$\pm\frac12$

$\pm1$

$\pm2$

$\pm4$

$\pm8$

Conceptos:complex fraction quadratic equation

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

Simplifica primero ambas fracciones complejas

Simplify both complex fractions first

Pista grande:

Después de eliminar denominadores, resuelve la ecuación resultante en $x^2$

After clearing denominators, solve the resulting equation in $x^2$

Solución:

La ecuación se simplifica a $\frac{x}{8}=\frac8x.$ Como $x\ne0,$ al multiplicar por $8x$ se obtiene $x^2=64,$ así que $x=\pm8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The equation simplifies to $\frac{x}{8}=\frac8x.$ Since $x\ne0,$ multiplying by $8x$ gives $x^2=64,$ so $x=\pm8.$

Thus the correct answer is E.

2.

$\left(\dfrac14\right)^{-\frac{1}{4}}=$

$-16$

$-\sqrt2$

$-\frac1{16}$

$\frac1{256}$

$\sqrt2$

Conceptos:fractional exponent negative exponent

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

Un exponente negativo indica que se toma el recíproco

A negative exponent takes the reciprocal

Pista grande:

Escribe $4$ como una potencia de $2$

Rewrite $4$ as a power of $2$

Solución:

Al tomar el recíproco se obtiene $4^{\frac{1}{4}}=(2^2)^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Taking the reciprocal gives $4^{\frac{1}{4}}=(2^2)^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt2.$

Thus the correct answer is E.

3.

Los ángulos consecutivos de un trapecio forman una sucesión aritmética. Si el menor mide $75^\circ,$ el mayor mide

The consecutive angles of a trapezoid form an arithmetic sequence. If the smallest angle is $75^\circ,$ then the largest angle is

$95^\circ$

$100^\circ$

$105^\circ$

$110^\circ$

$115^\circ$

Conceptos:quadrilateral sucesión aritmética suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Escribe los cuatro ángulos como $75,75+d,75+2d,75+3d$

Write the four angles as $75,75+d,75+2d,75+3d$

Pista grande:

Usa la suma de los ángulos de un cuadrilátero

Use the angle sum of a quadrilateral

Solución:

Los cuatro ángulos suman $360^\circ,$ así que $\begin{aligned} &75+(75+d)\\ &\quad +(75+2d)\\ &\quad +(75+3d)=360. \end{aligned}$ Por tanto, $d=10,$ y el ángulo mayor es $75+3(10)=105^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The four angles sum to $360^\circ,$ so $\begin{aligned} &75+(75+d)\\ &\quad +(75+2d)\\ &\quad +(75+3d)=360. \end{aligned}$ Thus $d=10,$ and the largest angle is $75+3(10)=105^\circ.$

Thus the correct answer is C.

4.

Sea $ABCD$ un paralelogramo con $\angle ABC=120^\circ,$ $AB=16,$ y $BC=10.$ Prolonga $\overline{CD}$ más allá de $D$ hasta $E$ , de modo que $DE=4.$ Si $\overline{BE}$ corta a $\overline{AD}$ en $F,$ entonces $FD$ es aproximadamente

Let $ABCD$ be a parallelogram with $\angle ABC=120^\circ,$ $AB=16,$ and $BC=10.$ Extend $\overline{CD}$ through $D$ to $E$ so that $DE=4.$ If $\overline{BE}$ intersects $\overline{AD}$ at $F,$ then $FD$ is closest to

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:paralelogramo similar triangles segment ratio

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Usa que $\overline{AB}\parallel\overline{ED}$

Use that $\overline{AB}\parallel\overline{ED}$

Pista grande:

Los triángulos $ABF$ y $DEF$ son semejantes

Triangles $ABF$ and $DEF$ are similar

Solución:

Como $AB\parallel ED,$ los triángulos $ABF$ y $DEF$ son semejantes. Por tanto, $\frac{AF}{FD}=\frac{AB}{DE}=\frac{16}{4}=4.$ Como $AF+FD=AD=BC=10,$ se obtiene $5FD=10,$ y por ello $FD=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because $AB\parallel ED,$ triangles $ABF$ and $DEF$ are similar. Hence $\frac{AF}{FD}=\frac{AB}{DE}=\frac{16}{4}=4.$ Since $AF+FD=AD=BC=10,$ we get $5FD=10,$ so $FD=2.$

Thus the correct answer is B.

5.

¿Cuál de estos números es el mayor?

Which of these numbers is largest?

$\sqrt{\sqrt[3]{5\cdot6}}$

$\sqrt{6\sqrt[3]5}$

$\sqrt{5\sqrt[3]6}$

$\sqrt[3]{5\sqrt6}$

$\sqrt[3]{6\sqrt5}$

Conceptos:radical exponente comparing expressions

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Todas las opciones son positivas; eleva cada una a la sexta potencia

Every choice is positive, so raise each one to the sixth power

Pista grande:

Expresa cada sexta potencia como $5^a6^b$

Express each sixth power as $5^a6^b$

Solución:

Elevar las cinco opciones positivas a la sexta potencia conserva su orden y da, respectivamente, $\begin{aligned} 30,\qquad &6^3\cdot5=1080,\\ 5^3\cdot6&=750,\\ 5^2\cdot6&=150,\qquad 6^2\cdot5=180. \end{aligned}$ La segunda es la mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Raising the five positive choices to the sixth power preserves their order and gives, respectively, $\begin{aligned} 30,\qquad &6^3\cdot5=1080,\\ 5^3\cdot6&=750,\\ 5^2\cdot6&=150,\qquad 6^2\cdot5=180. \end{aligned}$ The largest is the second.

Thus the correct answer is B.

6.

Los puntos $A$ y $B$ están separados $5$ unidades. ¿Cuántas rectas de un plano dado que contiene a $A$ y $B$ están a $2$ unidades de $A$ y a $3$ unidades de $B$ ?

Points $A$ and $B$ are $5$ units apart. How many lines in a given plane containing $A$ and $B$ are $2$ units from $A$ and $3$ units from $B?$

$0$

$1$

$2$

$3$

más de $3$

more than $3$

Conceptos:distance from point to line recta tangente círculo

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Convierte las condiciones de distancia en tangencias a dos círculos

Replace the distance conditions by tangencies to two circles

Pista grande:

Los círculos tienen radios $2$ y $3$ y son tangentes exteriormente

The circles have radii $2$ and $3$ and are externally tangent

Solución:

Una recta que cumple las condiciones es una tangente común al círculo de centro $A$ y radio $2$ , y al círculo de centro $B$ y radio $3.$ La distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios, por lo que son tangentes exteriormente. Tienen dos tangentes exteriores comunes y una tangente común en su punto de contacto, para un total de $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A qualifying line is a common tangent to the circle centered at $A$ with radius $2$ and the circle centered at $B$ with radius $3.$ Their center distance equals the sum of their radii, so they are externally tangent. They have two external common tangents and one common tangent at their point of contact, for a total of $3.$

Thus the correct answer is D.

7.

Un triángulo de lados enteros tiene perímetro $8.$ Su área es

A triangle with integral sides has perimeter $8.$ The area of the triangle is

$2\sqrt2$

$\frac{16}{9}\sqrt3$

$2\sqrt3$

$4$

$4\sqrt2$

Conceptos:desigualdad triangular Heron’s formula integer sides

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Enumera las ternas no ordenadas de enteros positivos que suman $8$

List the unordered triples of positive integers summing to $8$

Pista grande:

Solo una terna satisface la desigualdad triangular estricta

Only one triple satisfies the strict triangle inequality

Solución:

Los únicos lados enteros positivos no ordenados que suman $8$ y satisfacen la desigualdad triangular son $2,3,3.$ El semiperímetro es $4,$ así que la fórmula de Herón da $\begin{aligned} K&=\sqrt{4(4-2)(4-3)(4-3)}\\ &=2\sqrt2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The only unordered positive integral side lengths summing to $8$ and satisfying the triangle inequality are $2,3,3.$ Their semiperimeter is $4,$ so Heron’s formula gives $\begin{aligned} K&=\sqrt{4(4-2)(4-3)(4-3)}\\ &=2\sqrt2. \end{aligned}$

Thus the correct answer is A.

8.

El número de soluciones reales de $|x-2|+|x-3|=1$ es

The number of real solutions of the equation $|x-2|+|x-3|=1$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

más de $3$

more than $3$

Conceptos:valor absoluto interval

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Interpreta los valores absolutos como distancias en la recta numérica

Interpret the two absolute values as distances on a number line

Pista grande:

Considera cada $x$ entre $2$ y $3$

Consider every $x$ between $2$ and $3$

Solución:

Para cada $x\in[2,3],$ $\begin{aligned} &|x-2|+|x-3|\\ &\quad=(x-2)+(3-x)\\ &=1. \end{aligned}$ Así, todo el intervalo $[2,3]$ está formado por soluciones, por lo que hay más de $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For every $x\in[2,3],$ $\begin{aligned} &|x-2|+|x-3|\\ &\quad=(x-2)+(3-x)\\ &=1. \end{aligned}$ Thus the entire interval $[2,3]$ consists of solutions, so there are more than $3.$

Thus the correct answer is E.

9.

Cada arista de un cubo está pintada de rojo o de negro. Cada cara del cubo tiene al menos una arista negra. El menor número posible de aristas negras es

Each edge of a cube is colored either red or black. Every face of the cube has at least one black edge. The smallest possible number of black edges is

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:cube covering argument construction

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Cada arista pertenece exactamente a dos caras

Each edge belongs to exactly two faces

Pista grande:

Para construir el caso que alcanza la cota, elige tres aristas que no sean adyacentes entre sí

For the matching upper bound, choose three mutually nonadjacent edges

Solución:

Cada arista negra puede cubrir solo sus dos caras incidentes, así que cubrir las $6$ caras requiere al menos $3$ aristas negras. Elige aristas que pertenezcan a los pares de caras superior/frontal, inferior/izquierda y posterior/derecha. Estas tres aristas cubren las seis caras, por lo que el mínimo es $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each black edge can cover only its two incident faces, so covering all $6$ faces requires at least $3$ black edges. Choose edges incident to the face-pairs top/front, bottom/left, and back/right. These three edges cover all six faces, so the minimum is $3.$

Thus the correct answer is B.

10.

Un cubo de madera de $11\times11\times11$ se forma pegando $11^3$ cubos unitarios. ¿Cuál es el mayor número de cubos unitarios que se pueden ver desde un solo punto?

An $11\times11\times11$ wooden cube is formed by gluing together $11^3$ unit cubes. What is the greatest number of unit cubes that can be seen from a single point?

$328$

$329$

$330$

$331$

$332$

Conceptos:cube inclusión-exclusión counting

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Desde un punto se pueden ver, como máximo, tres caras de un cubo

At most three faces of a cube are visible from one point

Pista grande:

Aplica inclusión-exclusión a tres caras adyacentes de $11\times11$

Use inclusion-exclusion on three mutually adjacent $11\times11$ faces

Solución:

Desde un punto adecuado pueden verse tres caras mutuamente adyacentes. Contienen $\begin{aligned} &3(11^2)-3(11)+1\\ &=363-33+1\\ &=331 \end{aligned}$ cubos unitarios distintos: se restan las tres aristas compartidas y se vuelve a añadir el cubo de la esquina.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

From a suitable point one can see three mutually adjacent faces. They contain $\begin{aligned} &3(11^2)-3(11)+1\\ &=363-33+1\\ &=331 \end{aligned}$ distinct unit cubes: subtract the three shared edges and restore the corner cube.

Thus the correct answer is D.

11.

¿Cuántos enteros positivos menores que $50$ tienen un número impar de divisores positivos?

How many positive integers less than $50$ have an odd number of positive integer divisors?

$3$

$5$

$7$

$9$

$11$

Conceptos:divisors cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Los divisores suelen emparejarse como $d$ y $\frac{n}{d}$

Divisors normally pair as $d$ and $\frac{n}{d}$

Pista grande:

Un divisor queda sin pareja exactamente cuando el número es un cuadrado perfecto

An unpaired divisor occurs exactly for a perfect square

Solución:

Un entero positivo tiene un número impar de divisores exactamente cuando es un cuadrado perfecto. Los cuadrados menores que $50$ son $1,4,9,16,25,36,49,$ así que hay $7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A positive integer has an odd number of divisors exactly when it is a perfect square. The squares below $50$ are $1,4,9,16,25,36,49,$ so there are $7.$

Thus the correct answer is C.

12.

Sea $f$ la función definida por $f(x)=ax^2-\sqrt2$ para cierto $a$ positivo. Si $f(f(\sqrt2))=-\sqrt2,$ entonces $a=$

Let $f$ be the function defined by $f(x)=ax^2-\sqrt2$ for some positive $a.$ If $f(f(\sqrt2))=-\sqrt2,$ then $a=$

$\frac{2-\sqrt2}{2}$

$\frac12$

$2-\sqrt2$

$\frac{\sqrt2}{2}$

$\frac{2+\sqrt2}{2}$

Conceptos:function composition radical equation

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Para $a$ positivo, ¿cuándo puede $f(y)$ ser igual a $-\sqrt2$ ?

For positive $a,$ when can $f(y)$ equal $-\sqrt2?$

Pista grande:

Iguala a cero el valor interior $f(\sqrt2)$

Set the inner value $f(\sqrt2)$ equal to zero

Solución:

Como $a\gt0,$ la ecuación $f(y)=ay^2-\sqrt2=-\sqrt2$ obliga a que $y=0.$ Por tanto, $f(\sqrt2)=2a-\sqrt2=0,$ de modo que $a=\frac{\sqrt2}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $a\gt0,$ the equation $f(y)=ay^2-\sqrt2=-\sqrt2$ forces $y=0.$ Hence $f(\sqrt2)=2a-\sqrt2=0,$ so $a=\frac{\sqrt2}{2}.$

Thus the correct answer is D.

13.

Si una computadora ejecuta las siguientes instrucciones, ¿qué valor de $X$ se imprimirá debido a la instrucción $5$ ?

$1.$ INICIAR $X$ EN $3$ Y $S$ EN $0.$

$2.$ AUMENTAR EL VALOR DE $X$ EN $2.$

$3.$ AUMENTAR EL VALOR DE $S$ EN EL VALOR DE $X.$

$4.$ SI $S$ ES AL MENOS $10000,$ IR A LA INSTRUCCIÓN $5;$ EN CASO CONTRARIO, IR A LA INSTRUCCIÓN $2$ Y CONTINUAR DESDE ALLÍ.

$5.$ IMPRIMIR EL VALOR DE $X.$

$6.$ DETENERSE.

If the following instructions are carried out by a computer, which value of $X$ will be printed because of instruction $5?$

$1.$ START $X$ AT $3$ AND $S$ AT $0.$

$2.$ INCREASE THE VALUE OF $X$ BY $2.$

$3.$ INCREASE THE VALUE OF $S$ BY THE VALUE OF $X.$

$4.$ IF $S$ IS AT LEAST $10000,$ THEN GO TO INSTRUCTION $5;$ OTHERWISE, GO TO INSTRUCTION $2$ AND PROCEED FROM THERE.

$5.$ PRINT THE VALUE OF $X.$

$6.$ STOP.

$19$

$21$

$23$

$199$

$201$

Conceptos:algorithm sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Después de $k$ pasadas por las instrucciones $2$ y $3,$ halla $X$ y $S$

After $k$ passes through instructions $2$ and $3,$ find $X$ and $S$

Pista grande:

Los valores añadidos a $S$ son enteros impares consecutivos a partir de $5$

The values added to $S$ are consecutive odd numbers beginning with $5$

Solución:

Después de $k$ pasadas, $X=2k+3,$ y $\begin{aligned} S&=5+7+\cdots+(2k+3)\\ &=k(k+4). \end{aligned}$ Ahora, $98(102)=9996\lt10000,$ mientras que $99(103)=10197\ge10000.$ Por tanto, el ciclo termina en $k=99,$ cuando $X=2(99)+3=201.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

After $k$ passes, $X=2k+3,$ and $\begin{aligned} S&=5+7+\cdots+(2k+3)\\ &=k(k+4). \end{aligned}$ Now $98(102)=9996\lt10000,$ while $99(103)=10197\ge10000.$ Thus the loop stops at $k=99,$ when $X=2(99)+3=201.$

Thus the correct answer is E.

14.

Un triángulo isósceles acutángulo $ABC$ está inscrito en un círculo. Por $B$ y $C$ se trazan tangentes al círculo que se cortan en $D.$ Si $\angle ABC=\angle ACB=2\angle D$ y $x$ es la medida en radianes de $\angle A,$ entonces $x=$

An acute isosceles triangle, $ABC,$ is inscribed in a circle. Through $B$ and $C,$ tangents to the circle are drawn, meeting at point $D.$ If $\angle ABC=\angle ACB=2\angle D$ and $x$ is the radian measure of $\angle A,$ then $x=$

$\frac37\pi$

$\frac49\pi$

$\frac5{11}\pi$

$\frac6{13}\pi$

$\frac7{15}\pi$

Conceptos:círculo tangent ángulo inscrito persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Expresa cada ángulo de la base en función de $x$

Express each base angle in terms of $x$

Pista grande:

El ángulo entre las tangentes es $\pi-2x$

The angle between the tangents is $\pi-2x$

Solución:

Los dos ángulos de la base miden $\frac{\pi-x}{2}.$ El arco menor $BC$ tiene ángulo central $2x,$ así que el ángulo entre las tangentes es $\pi-2x.$ La relación dada produce $\frac{\pi-x}{2}=2(\pi-2x).$ Por tanto, $7x=3\pi,$ o $x=\frac{3\pi}{7}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The two base angles are each $\frac{\pi-x}{2}.$ The minor arc $BC$ has central angle $2x,$ so the angle between the tangents is $\pi-2x.$ The given relation yields $\frac{\pi-x}{2}=2(\pi-2x).$ Therefore $7x=3\pi,$ or $x=\frac{3\pi}{7}.$

Thus the correct answer is A.

15.

Cuatro números enteros no negativos, sumados de tres en tres, dan $180,$ $197,$ $208,$ y $222.$ ¿Cuál es el mayor de los cuatro números?

Four whole numbers, when added three at a time, give the sums $180,$ $197,$ $208,$ and $222.$ What is the largest of the four numbers?

$77$

$83$

$89$

$95$

no se puede determinar con la información dada

cannot be determined from the given information

Conceptos:sistema de ecuaciones sums

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Suma las cuatro sumas dadas de tres números

Add the four given triple-sums

Pista grande:

Cada número original aparece exactamente en tres de esas sumas

Each original number appears in exactly three of those sums

Solución:

Sea $T$ la suma de los cuatro números. Al sumar las cuatro sumas triples se obtiene $\begin{aligned} 3T&=180+197+208+222\\ &=807, \end{aligned}$ así que $T=269.$ Los números omitidos son $269-180,$ $269-197,$ $269-208,$ y $269-222,$ y el mayor es $89.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If $T$ is the sum of the four numbers, adding the four triple-sums gives $\begin{aligned} 3T&=180+197+208+222\\ &=807, \end{aligned}$ so $T=269.$ The omitted numbers are $269-180,$ $269-197,$ $269-208,$ and $269-222,$ whose largest is $89.$

Thus the correct answer is C.

16.

En una de las fiestas de George Washington, cada hombre estrechó la mano de todos excepto de su esposa, y no hubo apretones de manos entre mujeres. Si asistieron $13$ matrimonios, ¿cuántos apretones de manos hubo entre estas $26$ personas?

At one of George Washington’s parties, each man shook hands with everyone except his spouse, and no handshakes took place between women. If $13$ married couples attended, how many handshakes were there among these $26$ people?

$78$

$185$

$234$

$312$

$325$

Conceptos:combinaciones conteo complementario

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Comienza con todos los pares no ordenados de los $26$ invitados

Begin with all unordered pairs of the $26$ guests

Pista grande:

Elimina los matrimonios y los pares formados por dos mujeres

Remove spouse pairs and pairs consisting of two women

Solución:

Hay $\binom{26}{2}=325$ pares posibles. Excluimos los $13$ matrimonios y los $\binom{13}{2}=78$ pares de mujeres. El número de apretones de manos es $325-13-78=234.$

Por tanto, la respuesta correcta es C.

There are $\binom{26}{2}=325$ possible pairs. Exclude the $13$ married pairs and the $\binom{13}{2}=78$ pairs of women. The number of handshakes is $325-13-78=234.$

Thus the correct answer is C.

17.

¿Cuántos de los números $100,$ $101,$ $\ldots,$ $999$ tienen tres dígitos distintos en orden creciente o decreciente?

How many of the numbers $100,$ $101,$ $\ldots,$ $999$ have three different digits in increasing order or in decreasing order?

$120$

$168$

$204$

$216$

$240$

Conceptos:combinaciones digit counting

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Elegir tres dígitos distintos determina su orden creciente o decreciente

Choosing three distinct digits fixes their increasing or decreasing order

Pista grande:

Trata con cuidado el dígito $0$ en el caso creciente

Treat the digit $0$ carefully in the increasing case

Solución:

Un número creciente de tres dígitos no puede usar el $0,$ así que hay $\binom93=84$ números crecientes. Tres dígitos cualesquiera elegidos del $0$ al $9$ forman un número decreciente válido de tres dígitos, porque el mayor aparece primero; esto da $\binom{10}{3}=120.$ El total es $84+120=204.$

Por tanto, la respuesta correcta es C.

An increasing three-digit number cannot use $0,$ so there are $\binom93=84$ increasing numbers. Any three digits chosen from $0$ through $9$ form a valid decreasing three-digit number, because the largest digit comes first; this gives $\binom{10}{3}=120.$ The total is $84+120=204.$

Thus the correct answer is C.

18.

Primero se elige $a$ al azar del conjunto $\{1,2,3,\ldots,99,100\},$ y luego se elige $b$ al azar del mismo conjunto. La probabilidad de que el entero $3^a+7^b$ tenga como dígito de las unidades el $8$ es

First $a$ is chosen at random from the set $\{1,2,3,\ldots,99,100\},$ and then $b$ is chosen at random from the same set. The probability that the integer $3^a+7^b$ has units digit $8$ is

$\frac1{16}$

$\frac18$

$\frac3{16}$

$\frac15$

$\frac14$

Conceptos:aritmética modular probability exponent cycle

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Los dígitos de las unidades de ambas potencias se repiten con período $4$

The units digits of both powers repeat with period $4$

Pista grande:

Enumera los pares de residuos $(a\bmod4,b\bmod4)$ que producen un dígito de las unidades igual a $8$

List the residue pairs $(a\bmod4,b\bmod4)$ that produce a units digit of $8$

Solución:

Los dígitos de las unidades de $3^a$ para $a\equiv1,2,3,0\pmod4$ son $3,9,7,1,$ mientras que los de $7^b$ son $7,9,3,1.$ Una suma que termina en $8$ corresponde a los pares de residuos $\begin{aligned} (a,b)\equiv{}&(2,2),(3,0),\\ &(0,1)\pmod4. \end{aligned}$ Cada residuo aparece $25$ veces entre $1,\ldots,100,$ así que la probabilidad es $\frac{3}{16}.$

Por tanto, la respuesta correcta es C.

The units digits of $3^a$ for $a\equiv1,2,3,0\pmod4$ are $3,9,7,1,$ while those of $7^b$ are $7,9,3,1.$ A sum ending in $8$ occurs for the residue pairs $\begin{aligned} (a,b)\equiv{}&(2,2),(3,0),\\ &(0,1)\pmod4. \end{aligned}$ Each residue occurs $25$ times among $1,\ldots,100,$ so the probability is $\frac{3}{16}.$

Thus the correct answer is C.

19.

¿Para cuántos enteros $N$ entre $1$ y $1990$ la fracción impropia $\frac{N^2+7}{N+4}$ no está en su mínima expresión?

For how many integers $N$ between $1$ and $1990$ is the improper fraction $\frac{N^2+7}{N+4}$ not in lowest terms?

$0$

$86$

$90$

$104$

$105$

Conceptos:máximo común divisor aritmética modular conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Reduce $N^2+7$ módulo $N+4$

Reduce $N^2+7$ modulo $N+4$

Pista grande:

El único factor primo común posible es un divisor de $23$

The only possible common prime factor is a divisor of $23$

Solución:

Módulo $N+4,$ tenemos $N\equiv-4,$ de modo que $N^2+7\equiv16+7=23.$ Por tanto, la fracción es reducible exactamente cuando $N+4$ es divisible por $23,$ o bien cuando $N\equiv19\pmod{23}.$ Los valores son $19,42,\ldots,1974,$ un total de $86.$

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Modulo $N+4,$ we have $N\equiv-4,$ so $N^2+7\equiv16+7=23.$ Thus the fraction is reducible exactly when $N+4$ is divisible by $23,$ or $N\equiv19\pmod{23}.$ The values are $19,42,\ldots,1974,$ a total of $86.$

Thus the correct answer is B.

20.

En la figura, $ABCD$ es un cuadrilátero con ángulos rectos en $A$ y $C.$ Los puntos $E$ y $F$ están sobre $\overline{AC},$ y $\overline{DE}$ y $\overline{BF}$ son perpendiculares a $\overline{AC}.$ Si $AE=3,$ $DE=5,$ y $CE=7,$ entonces $BF=$

In the figure, $ABCD$ is a quadrilateral with right angles at $A$ and $C.$ Points $E$ and $F$ are on $\overline{AC},$ and $\overline{DE}$ and $\overline{BF}$ are perpendicular to $\overline{AC}.$ If $AE=3,$ $DE=5,$ and $CE=7,$ then $BF=$

$3.6$

$4$

$4.2$

$4.5$

$5$

Conceptos:geometría analítica perpendicular lines sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Coloca $\overline{AC}$ sobre el eje $x$ con $A=(0,0)$

Place $\overline{AC}$ on the $x$ -axis with $A=(0,0)$

Pista grande:

Usa productos escalares para los ángulos rectos en $A$ y $C$

Use dot products for the right angles at $A$ and $C$

Solución:

Toma $A=(0,0),$ $E=(3,0),$ $C=(10,0),$ $D=(3,-5),$ y $B=(f,h),$ donde $h=BF.$ Como $AB\perp AD,$ $(f,h)\cdot(3,-5)=0,$ así que $3f=5h.$ Como $BC\perp DC,$ $(f-10,h)\cdot(-7,-5)=0,$ así que $7f+5h=70.$ La sustitución da $f=7$ y $h=\frac{21}{5}=4.2.$

Por tanto, la respuesta correcta es C.

Set $A=(0,0),$ $E=(3,0),$ $C=(10,0),$ $D=(3,-5),$ and $B=(f,h),$ where $h=BF.$ Since $AB\perp AD,$ $(f,h)\cdot(3,-5)=0,$ so $3f=5h.$ Since $BC\perp DC,$ $(f-10,h)\cdot(-7,-5)=0,$ so $7f+5h=70.$ Substitution gives $f=7$ and $h=\frac{21}{5}=4.2.$

Thus the correct answer is C.

21.

Considera una pirámide $P\text{-}ABCD$ cuya base $ABCD$ es cuadrada y cuyo vértice $P$ equidista de $A,$ $B,$ $C,$ y $D.$ Si $AB=1$ y $\angle APB=2\theta,$ entonces el volumen de la pirámide es

Consider a pyramid $P\text{-}ABCD$ whose base $ABCD$ is square and whose vertex $P$ is equidistant from $A,$ $B,$ $C,$ and $D.$ If $AB=1$ and $\angle APB=2\theta,$ then the volume of the pyramid is

$\frac{\sin\theta}{6}$

$\frac{\cot\theta}{6}$

$\frac1{6\sin\theta}$

$\frac{1-\sin2\theta}{6}$

$\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{6\sin\theta}$

Conceptos:pirámide trigonometría circumradius volumen

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

En el triángulo isósceles $APB,$ expresa $PA$ mediante la cuerda $AB$

In isosceles triangle $APB,$ express $PA$ using the chord $AB$

Pista grande:

Relaciona $PA$ con la altura de la pirámide y la distancia del centro del cuadrado a un vértice

Relate $PA$ to the pyramid height and the center-to-vertex distance of the square

Solución:

Sea $R=PA=PB.$ En el triángulo isósceles $APB,$ $1=AB=2R\sin\theta,$ así que $R=\frac{1}{2\sin\theta}.$ Si $h$ es la altura de la pirámide, la distancia horizontal del centro del cuadrado a $A$ es $\frac{1}{\sqrt2},$ por lo que $\begin{aligned} h^2 &=R^2-\frac12\\ &=\frac{\cos2\theta}{4\sin^2\theta}. \end{aligned}$ Por tanto, $h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{2\sin\theta},$ y el volumen es $\frac13(1)h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{6\sin\theta}.$

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Let $R=PA=PB.$ In isosceles triangle $APB,$ $1=AB=2R\sin\theta,$ so $R=\frac{1}{2\sin\theta}.$ If $h$ is the pyramid height, the horizontal distance from the square’s center to $A$ is $\frac{1}{\sqrt2},$ hence $\begin{aligned} h^2 &=R^2-\frac12\\ &=\frac{\cos2\theta}{4\sin^2\theta}. \end{aligned}$ Thus $h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{2\sin\theta},$ and the volume is $\frac13(1)h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{6\sin\theta}.$

Thus the correct answer is E.

22.

Si las seis soluciones de $x^6=-64$ se escriben en la forma $a+bi,$ donde $a$ y $b$ son reales, entonces el producto de las soluciones con $a\gt0$ es

If the six solutions of $x^6=-64$ are written in the form $a+bi,$ where $a$ and $b$ are real, then the product of those solutions with $a\gt0$ is

$-2$

$0$

$2i$

$4$

$16$

Conceptos:complex roots polar form

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Escribe $-64$ en forma polar y enumera sus seis raíces sextas

Write $-64$ in polar form and list its six sixth roots

Pista grande:

Las raíces con parte real positiva forman un par conjugado

The roots with positive real part form a conjugate pair

Solución:

Las raíces tienen módulo $2$ y argumentos $\frac\pi6+\frac{k\pi}{3},\qquad k=0,1,\ldots,5.$ Las raíces con parte real positiva tienen argumentos $\frac{\pi}{6}$ y $\frac{11\pi}{6}.$ Son conjugadas de módulo $2,$ así que su producto es $2^2=4.$

Por tanto, la respuesta correcta es D.

The roots have modulus $2$ and arguments $\frac\pi6+\frac{k\pi}{3},\qquad k=0,1,\ldots,5.$ The roots with positive real part have arguments $\frac{\pi}{6}$ and $\frac{11\pi}{6}.$ They are conjugates of modulus $2,$ so their product is $2^2=4.$

Thus the correct answer is D.

23.

Si $x,$ $y\gt0,$ $\log_yx+\log_xy=\frac{10}{3},$ y $xy=144,$ entonces $\frac{x+y}{2}=$

If $x,$ $y\gt0,$ $\log_yx+\log_xy=\frac{10}{3},$ and $xy=144,$ then $\frac{x+y}{2}=$

$12\sqrt2$

$13\sqrt3$

$24$

$30$

$36$

Conceptos:logaritmo quadratic equation symmetric expression

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Sea $t=\log_yx,$ de modo que $\log_xy=\frac{1}{t}$

Let $t=\log_yx,$ so that $\log_xy=\frac{1}{t}$

Pista grande:

Los valores resultantes de $t$ muestran que uno de $x,y$ es el cubo del otro

The resulting values of $t$ show that one of $x,y$ is the cube of the other

Solución:

Sea $t=\log_yx.$ Entonces $t+\frac1t=\frac{10}{3},$ de modo que $3t^2-10t+3=0,$ lo que da $t=3$ o $\frac{1}{3}.$ Por tanto, uno de $x,y$ es el cubo del otro. Sea $u$ el menor. Entonces $u^4=xy=144,$ así que $u=2\sqrt3$ y $u^3=24\sqrt3.$ Por consiguiente, $\frac{x+y}{2}=\frac{2\sqrt3+24\sqrt3}{2}=13\sqrt3.$

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Let $t=\log_yx.$ Then $t+\frac1t=\frac{10}{3},$ so $3t^2-10t+3=0,$ giving $t=3$ or $\frac{1}{3}.$ Thus one of $x,y$ is the cube of the other. Let the smaller be $u.$ Then $u^4=xy=144,$ so $u=2\sqrt3$ and $u^3=24\sqrt3.$ Therefore $\frac{x+y}{2}=\frac{2\sqrt3+24\sqrt3}{2}=13\sqrt3.$

Thus the correct answer is B.

24.

Todos los estudiantes de la Escuela Secundaria Adams y de la Escuela Secundaria Baker presentan cierto examen. La tabla muestra los promedios de los chicos, de las chicas y del grupo completo en las dos escuelas, así como el promedio combinado de los chicos de ambas escuelas. ¿Cuál es el promedio combinado de las chicas de las dos escuelas?

	Adams	Baker	Adams y Baker
Chicos:	$71$	$81$	$79$
Chicas:	$76$	$90$	¿?
Chicos y chicas:	$74$	$84$

All students at Adams High School and at Baker High School take a certain exam. The average scores for boys, for girls, and for boys and girls combined, at Adams HS and Baker HS are shown in the table, as is the average for boys at the two schools combined. What is the average score for the girls at the two schools combined?

	Adams	Baker	Adams & Baker
Boys:	$71$	$81$	$79$
Girls:	$76$	$90$	?
Boys & Girls:	$74$	$84$

$81$

$82$

$83$

$84$

$85$

Conceptos:weighted average ratio sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Usa el promedio combinado de cada escuela para hallar su razón de chicas a chicos

Use each school’s combined average to find its ratio of girls to boys

Pista grande:

Usa el promedio combinado de los chicos para relacionar las cantidades de chicos de las dos escuelas

Use the combined boys’ average to relate the numbers of boys at the two schools

Solución:

Supongamos que Adams tiene $x$ chicos y $y$ chicas. A partir de su promedio, $71x+76y=74(x+y),$ así que $y=\frac{3x}{2}.$ Si Baker tiene $u$ chicos y $v$ chicas, su promedio da $u=2v.$ El promedio combinado de los chicos da $71x+81u=79(x+u),$ así que $u=4x$ y $v=2x.$ Por tanto, el promedio combinado de las chicas es $\frac{76(\frac{3x}{2})+90(2x)}{\frac{3x}{2}+2x}=84.$

Por tanto, la respuesta correcta es D.

Let Adams have $x$ boys and $y$ girls. From its average, $71x+76y=74(x+y),$ so $y=\frac{3x}{2}.$ If Baker has $u$ boys and $v$ girls, its average gives $u=2v.$ The combined boys’ average gives $71x+81u=79(x+u),$ so $u=4x$ and $v=2x.$ Hence the combined girls’ average is $\frac{76(\frac{3x}{2})+90(2x)}{\frac{3x}{2}+2x}=84.$

Thus the correct answer is D.

25.

Nueve esferas congruentes se colocan dentro de un cubo unitario de modo que una tiene su centro en el centro del cubo y cada una de las demás es tangente a la esfera central y a tres caras del cubo. ¿Cuál es el radio de cada esfera?

Nine congruent spheres are packed inside a unit cube in such a way that one of them has its center at the center of the cube and each of the others is tangent to the center sphere and to three faces of the cube. What is the radius of each sphere?

$1-\frac{\sqrt3}{2}$

$\frac{2\sqrt3-3}{2}$

$\frac{\sqrt2}{6}$

$\frac14$

$\frac{\sqrt3(2-\sqrt2)}4$

Conceptos:three-dimensional geometry fórmula de la distancia tangent spheres

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Coloca el centro de una esfera de esquina en $(r,r,r)$

Place one corner sphere’s center at $(r,r,r)$

Pista grande:

Su distancia a $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ es igual a $2r$

Its distance from $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ equals $2r$

Solución:

Si el radio es $r,$ una esfera de esquina tiene centro $(r,r,r)$ y la esfera central tiene centro $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}).$ La tangencia da $\sqrt3\left(\frac12-r\right)=2r.$ Al resolver y racionalizar, $r=\frac{\sqrt3}{2(2+\sqrt3)} =\frac{2\sqrt3-3}{2}.$

Por tanto, la respuesta correcta es B.

If the radius is $r,$ a corner sphere has center $(r,r,r)$ and the central sphere has center $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}).$ Tangency gives $\sqrt3\left(\frac12-r\right)=2r.$ Solving and rationalizing, $r=\frac{\sqrt3}{2(2+\sqrt3)} =\frac{2\sqrt3-3}{2}.$

Thus the correct answer is B.

26.

Diez personas forman un círculo. Cada una elige un número y se lo dice a sus dos vecinos inmediatos del círculo. Después, cada persona calcula y anuncia el promedio de los números de sus dos vecinos. La figura muestra el promedio anunciado por cada persona (no el número original que eligió). El número elegido por la persona que anunció el promedio $6$ fue

Ten people form a circle. Each picks a number and tells it to the two neighbors adjacent to him in the circle. Then each person computes and announces the average of the numbers of his two neighbors. The figure shows the average announced by each person (not the original number the person picked). The number picked by the person who announced the average $6$ was

$1$

$5$

$6$

$10$

no se puede determinar de manera única con la información dada

not uniquely determined from the given information

Conceptos:recurrence linear system cyclic arrangement

Nivel de dificultad: 2500

Pista pequeña:

Si $x_i$ es un número elegido y $a_i$ el promedio mostrado, entonces $x_{i-1}+x_{i+1}=2a_i$

If $x_i$ is a picked number and $a_i$ the displayed average, then $x_{i-1}+x_{i+1}=2a_i$

Pista grande:

Comienza con dos números elegidos adyacentes desconocidos y continúa alrededor del círculo

Start with two unknown adjacent picked numbers and propagate around the circle

Solución:

Numera los promedios mostrados $a_0,a_1,\ldots,a_9$ en sentido horario como $1,2,\ldots,10,$ y sea $x_i$ el número elegido correspondiente. Escribe $x_0=t,\ x_1=u.$ A partir de $x_{i-1}+x_{i+1}=2a_i,$ los valores sucesivos son $\begin{aligned} x_2&=4-t, &x_3&=6-u,\\ x_4&=4+t, &x_5&=4+u,\\ x_6&=8-t, &x_7&=10-u,\\ x_8&=8+t, &x_9&=8+u. \end{aligned}$ Las dos ecuaciones de cierre dan $t=6$ y $u=-3.$ Por tanto, $x_5=4+u=1.$

Por tanto, la respuesta correcta es A.

Index the displayed averages $a_0,a_1,\ldots,a_9$ clockwise as $1,2,\ldots,10,$ and let $x_i$ be the corresponding picked numbers. Write $x_0=t,\ x_1=u.$ From $x_{i-1}+x_{i+1}=2a_i,$ successive values are $\begin{aligned} x_2&=4-t, &x_3&=6-u,\\ x_4&=4+t, &x_5&=4+u,\\ x_6&=8-t, &x_7&=10-u,\\ x_8&=8+t, &x_9&=8+u. \end{aligned}$ The two closing equations give $t=6$ and $u=-3.$ Hence $x_5=4+u=1.$

Thus the correct answer is A.

27.

¿Cuál de estas ternas no podría representar las longitudes de las tres alturas de un triángulo?

Which of these triples could not be the lengths of the three altitudes of a triangle?

$1,$ $\sqrt3,$ $2$

$3,$ $4,$ $5$

$5,$ $12,$ $13$

$7,$ $8,$ $\sqrt{113}$

$8,$ $15,$ $17$

Conceptos:desigualdad triangular altura reciprocal

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Para un área fija $K,$ el lado correspondiente a una altura $h$ es igual a $\frac{2K}{h}$

For fixed area $K,$ a side corresponding to altitude $h$ equals $\frac{2K}{h}$

Pista grande:

Comprueba la desigualdad triangular con los recíprocos de cada terna

Test the triangle inequality on the reciprocals of each triple

Solución:

Si las alturas son $h_1,h_2,h_3,$ los lados correspondientes son proporcionales a $\frac{1}{h_1},\frac{1}{h_2},\frac{1}{h_3}.$ Para $5,12,13,$ $\frac15\gt\frac1{12}+\frac1{13},$ por lo que los recíprocos no satisfacen la desigualdad triangular. Una comprobación directa muestra que los recíprocos de las demás ternas de la lista satisfacen todas las desigualdades triangulares estrictas.

Por tanto, la respuesta correcta es C.

If the altitudes are $h_1,h_2,h_3,$ then the corresponding sides are proportional to $\frac{1}{h_1},\frac{1}{h_2},\frac{1}{h_3}.$ For $5,12,13,$ $\frac15\gt\frac1{12}+\frac1{13},$ so the reciprocals fail the triangle inequality. Direct checking shows that the reciprocals of each other listed triple satisfy all strict triangle inequalities.

Thus the correct answer is C.

28.

Un cuadrilátero cuyos lados consecutivos tienen longitudes $70,$ $90,$ $130,$ y $110$ está inscrito en un círculo y también tiene un círculo inscrito. El punto de tangencia del círculo inscrito con el lado de longitud $130$ divide ese lado en segmentos de longitudes $x$ y $y.$ Halla $|x-y|.$

A quadrilateral that has consecutive sides of lengths $70,$ $90,$ $130,$ and $110$ is inscribed in a circle and also has a circle inscribed in it. The point of tangency of the inscribed circle to the side of length $130$ divides that side into segments of lengths $x$ and $y.$ Find $|x-y|.$

$12$

$13$

$14$

$15$

$16$

Conceptos:tangential quadrilateral cuadrilátero cíclico tangent lengths

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

Asigna una longitud tangente a cada vértice, de modo que cada par adyacente sume la longitud del lado correspondiente

Assign one tangent length to each vertex, so adjacent pairs sum to the four side lengths

Pista grande:

Para ángulos opuestos suplementarios, los productos de las longitudes tangentes en vértices opuestos son iguales

For supplementary opposite angles, the products of the tangent lengths at opposite vertices are equal

Solución:

Sean $u,v,w,z$ las longitudes tangentes desde los cuatro vértices consecutivos. Entonces $\begin{aligned} u+v&=70, &v+w&=90,\\ w+z&=130, &z+u&=110. \end{aligned}$ Así, $v=70-u,$ $w=20+u,$ y $z=110-u.$ Si el inradio es $r,$ un vértice con ángulo $A$ tiene longitud tangente $r\cot(\frac{A}{2}).$ Los ángulos opuestos son suplementarios, por lo que $uw=vz.$ En consecuencia, $u(20+u)=(70-u)(110-u),$ lo que da $u=38.5.$ Por tanto, los dos segmentos del lado de longitud $130$ son $w=58.5$ y $z=71.5,$ cuya diferencia es $13.$

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Let the tangent lengths from the four consecutive vertices be $u,v,w,z.$ Then $\begin{aligned} u+v&=70, &v+w&=90,\\ w+z&=130, &z+u&=110. \end{aligned}$ Thus $v=70-u,$ $w=20+u,$ and $z=110-u.$ If the inradius is $r,$ a vertex with angle $A$ has tangent length $r\cot(\frac{A}{2}).$ Opposite angles are supplementary, so $uw=vz.$ Therefore $u(20+u)=(70-u)(110-u),$ giving $u=38.5.$ Hence the two segments of the $130$ -side are $w=58.5$ and $z=71.5,$ whose difference is $13.$

Thus the correct answer is B.

29.

Un subconjunto de los enteros $1,$ $2,$ $\ldots,$ $100$ tiene la propiedad de que ninguno de sus elementos es $3$ veces otro. ¿Cuál es la mayor cantidad de elementos que puede tener ese subconjunto?

A subset of the integers $1,$ $2,$ $\ldots,$ $100$ has the property that none of its members is $3$ times another. What is the largest number of members such a subset can have?

$50$

$66$

$67$

$76$

$78$

Conceptos:extremal combinatorics powers independent set

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Agrupa los enteros en cadenas $m,3m,9m,\ldots$ donde $m$ no es múltiplo de $3$

Group integers into chains $m,3m,9m,\ldots$ where $m$ is not a multiple of $3$

Pista grande:

Dentro de cada cadena, elegir términos alternos produce una selección máxima permitida

Within each chain, alternating entries give a largest allowed selection

Solución:

Divide los enteros en cadenas $m,3m,9m,\ldots,$ donde $m$ no es múltiplo de $3.$ En cada cadena no se pueden elegir dos términos adyacentes, de modo que una selección máxima toma términos alternos comenzando con $m.$ De manera equivalente, elige los enteros cuyo exponente de $3$ es par. Hay $\begin{aligned} &\left(100-\left\lfloor\frac{100}{3}\right\rfloor\right)\\ &\quad+\left(\left\lfloor\frac{100}{9}\right\rfloor -\left\lfloor\frac{100}{27}\right\rfloor\right)\\ &\quad+\left\lfloor\frac{100}{81}\right\rfloor\\ &=67+8+1=76. \end{aligned}$ El argumento de las cadenas también demuestra que no es posible una selección mayor.

Por tanto, la respuesta correcta es D.

Partition the integers into chains $m,3m,9m,\ldots,$ with $m$ not a multiple of $3.$ In each chain, no two adjacent terms may both be selected, so a maximum selection takes alternating terms starting with $m.$ Equivalently, select the integers whose exponent of $3$ is even. There are $\begin{aligned} &\left(100-\left\lfloor\frac{100}{3}\right\rfloor\right)\\ &\quad+\left(\left\lfloor\frac{100}{9}\right\rfloor -\left\lfloor\frac{100}{27}\right\rfloor\right)\\ &\quad+\left\lfloor\frac{100}{81}\right\rfloor\\ &=67+8+1=76. \end{aligned}$ The chain argument also proves no larger selection is possible.

Thus the correct answer is D.

30.

Si $R_n=\frac12(a^n+b^n),$ donde $a=3+2\sqrt2,$ $b=3-2\sqrt2,$ y $n=0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ entonces $R_{12345}$ es un entero. Su dígito de las unidades es

If $R_n=\frac12(a^n+b^n),$ where $a=3+2\sqrt2,$ $b=3-2\sqrt2,$ and $n=0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ then $R_{12345}$ is an integer. Its units digit is

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Conceptos:recurrence aritmética modular conjugates

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Usa $a+b=6$ y $ab=1$ para obtener una recurrencia para $R_n$

Use $a+b=6$ and $ab=1$ to obtain a recurrence for $R_n$

Pista grande:

Calcula la recurrencia módulo $10$ y busca un período corto

Compute the recurrence modulo $10$ and look for a short period

Solución:

Como $a,b$ son raíces de $t^2-6t+1=0,$ $R_n=6R_{n-1}-R_{n-2}.$ Comenzando con $R_0=1,\ R_1=3,$ los dígitos de las unidades son $1,3,7,9,7,3,1,\ldots,$ con período $6.$ Como $12345\equiv3\pmod6,$ el dígito de las unidades es el mismo que el de $R_3,$ es decir, $9.$

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Because $a,b$ are roots of $t^2-6t+1=0,$ $R_n=6R_{n-1}-R_{n-2}.$ Starting with $R_0=1,\ R_1=3,$ the units digits are $1,3,7,9,7,3,1,\ldots,$ with period $6.$ Since $12345\equiv3\pmod6,$ the units digit is the same as that of $R_3,$ namely $9.$

Thus the correct answer is E.