Question

Sean $x,$ $y,$ y $z$ tres números reales positivos cuya suma es $1.$ Si ninguno de ellos es mayor que el doble de otro, entonces el valor mínimo posible del producto $xyz$ es

Let $x,$ $y,$ and $z$ be three positive real numbers whose sum is $1.$ If no one of these numbers is more than twice any other, then the minimum possible value of the product $xyz$ is

$\frac1{32}$

$\frac1{36}$

$\frac4{125}$

$\frac1{127}$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:optimización desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Ordena las variables como $x\le y\le z$ ; entonces la restricción activa es $z\le2x$

Order the variables $x\le y\le z$ ; then the active constraint is $z\le2x$

Pista grande:

El mínimo se alcanza en la frontera $z=2x,$ donde $y=1-3x$

A minimum occurs on the boundary $z=2x,$ where $y=1-3x$

Solución:

Ordena $x\le y\le z.$ En el mínimo, la separación entre las variables es máxima, así que $z=2x$ y $y=1-3x.$ El orden exige $\frac{1}{5}\le x\le\frac{1}{4}.$ Por tanto, $xyz=2x^2(1-3x).$ Su único punto crítico interior es un máximo, de modo que comparamos los extremos: los valores son $\frac{4}{125}$ y $\frac{1}{32},$ respectivamente. El mínimo es $\frac{1}{32}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Order $x\le y\le z.$ At a minimum the spread is maximal, so $z=2x$ and $y=1-3x.$ The ordering requires $\frac{1}{5}\le x\le\frac{1}{4}.$ Thus $xyz=2x^2(1-3x).$ Its only interior critical point is a maximum, so compare endpoints: the values are $\frac{4}{125}$ and $\frac{1}{32},$ respectively. The minimum is $\frac{1}{32}.$

Therefore, the correct answer is A.

1982 AMC 12 Problema 29

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años