Question

En sus representaciones en base $10$ , el entero $a$ consta de una secuencia de $1985$ ochos y el entero $b$ de una secuencia de $1985$ cincos. ¿Cuál es la suma de los dígitos de la representación en base $10$ del entero $9ab$ ?

In their base $10$ representations, the integer $a$ consists of a sequence of $1985$ eights and the integer $b$ consists of a sequence of $1985$ fives. What is the sum of the digits of the base $10$ representation of the integer $9ab?$

$15880$

$17856$

$17865$

$17874$

$19851$

Respuesta: C

Conceptos:manipulación algebraica dígitos reconocimiento de patrones valor posicional

Nivel de dificultad: 2530

Pista pequeña:

Escribe una cadena de $k$ dígitos iguales usando $R=\frac{10^k-1}{9}$

Write a string of $k$ identical digits using $R=\frac{10^k-1}{9}$

Pista grande:

Después de quitar el cero final, expresa el producto como una cadena de $2k$ cuatros menos una cadena de $k$ ochos

After removing the terminal zero, express the product as a string of $2k$ fours minus a string of $k$ eights

Solución:

Sean $k=1985$ y $R=\frac{10^k-1}{9}.$ Entonces $a=8R,$ $b=5R,$ y $9ab$ termina en $0.$ Quitar ese cero no cambia la suma de dígitos y deja $\begin{aligned} N=\frac{9ab}{10} &=36R^2\\ &=\frac49(10^{2k}-1)\\ &\quad{}-\frac89(10^k-1). \end{aligned}$ Así, $N$ es una cadena de $2k$ cuatros menos una cadena de $k$ ochos. La resta produce $k-1$ cuatros, luego $3,$ después $k-1$ cincos y finalmente $6.$ Su suma de dígitos es $\begin{aligned} &4(k-1)+3+5(k-1)+6\\ &\quad=9k=17865. \end{aligned}$ La respuesta correcta es C.

Let $k=1985$ and $R=\frac{10^k-1}{9}.$ Then $a=8R,$ $b=5R,$ and $9ab$ ends in $0.$ Removing that zero does not change the digit sum and leaves $\begin{aligned} N=\frac{9ab}{10} &=36R^2\\ &=\frac49(10^{2k}-1)\\ &\quad{}-\frac89(10^k-1). \end{aligned}$ Thus $N$ is a string of $2k$ fours minus a string of $k$ eights. The subtraction produces $k-1$ fours, then $3,$ then $k-1$ fives, then $6.$ Its digit sum is $\begin{aligned} &4(k-1)+3+5(k-1)+6\\ &\quad=9k=17865. \end{aligned}$ Therefore the correct answer is C.

1985 AMC 12 Problema 29

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 29 en otros años