Question

En $\triangle ABC,$ tenemos $\angle C=3\angle A,$ $a=27$ y $c=48.$ ¿Cuál es $b$ ?

In $\triangle ABC,$ we have $\angle C=3\angle A,$ $a=27$ and $c=48.$ What is $b?$

$33$

$35$

$37$

$39$

no está determinado de manera única

not uniquely determined

Respuesta: B

Conceptos:ley de los senos identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Usa la ley de los senos para escribir $\frac{48}{27}=\frac{\sin3A}{\sin A}$

Use the sine law to write $\frac{48}{27}=\frac{\sin3A}{\sin A}$

Pista grande:

Después de hallar $\cos A,$ usa $B=180^\circ-4A$ y $\sin4A=4\sin A\cos A\cos2A$

After finding $\cos A,$ use $B=180^\circ-4A$ and $\sin4A=4\sin A\cos A\cos2A$

Solución:

Por la ley de los senos y la identidad del ángulo triple, $\frac{48}{27} =\frac{\sin3A}{\sin A} =3-4\sin^2A.$ Por tanto, $\sin^2A=\frac{11}{36}.$ Como $A\lt60^\circ,$ $\cos A=\frac{5}{6},$ y entonces $\cos2A=\frac{7}{18}.$ Además, $B=180^\circ-4A,$ así que otra aplicación de la ley de los senos da $\begin{aligned} b &=27\frac{\sin B}{\sin A}\\ &=27\frac{\sin4A}{\sin A}\\ &=27\cdot4\cos A\cos2A\\ &=35. \end{aligned}$ La respuesta correcta es B.

By the sine law and the triple-angle identity, $\frac{48}{27} =\frac{\sin3A}{\sin A} =3-4\sin^2A.$ Hence $\sin^2A=\frac{11}{36}.$ Since $A\lt60^\circ,$ $\cos A=\frac{5}{6},$ and therefore $\cos2A=\frac{7}{18}.$ Also $B=180^\circ-4A,$ so another application of the sine law gives $\begin{aligned} b &=27\frac{\sin B}{\sin A}\\ &=27\frac{\sin4A}{\sin A}\\ &=27\cdot4\cos A\cos2A\\ &=35. \end{aligned}$ Thus the correct answer is B.

1985 AMC 12 Problema 28

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años