Question

En el plano $xy$ , ¿cuántas rectas cuyo intercepto con el eje $x$ es un número primo positivo y cuyo intercepto con el eje $y$ es un entero positivo pasan por el punto $(4,3)$ ?

In the $xy$ -plane, how many lines whose $x$ -intercept is a positive prime number and whose $y$ -intercept is a positive integer pass through the point $(4,3)?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: C

Conceptos:intercept form primes divisibilidad

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Sean $p$ y $q$ los interceptos, y usa $\frac{4}{p}+\frac{3}{q}=1$

Let the intercepts be $p$ and $q$ , and use $\frac{4}{p}+\frac{3}{q}=1$

Pista grande:

Despeja $q=3+\frac{12}{p-4}$

Rearrange to $q=3+\frac{12}{p-4}$

Solución:

Sea el intercepto con el eje $x$ el primo $p$ y el intercepto con el eje $y$ el entero positivo $q.$ La forma de interceptos da $\begin{gathered} \frac4p+\frac3q=1, \\ q=\frac{3p}{p-4}=3+\frac{12}{p-4}. \end{gathered}$ Por tanto, $p-4$ es un divisor positivo de $12.$ Al probar $1,2,3,4,6,12$ , se obtiene un $p$ primo solo para $p=5$ y $p=7.$ Por consiguiente, hay $2$ rectas. Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the $x$ -intercept be the prime $p$ and the $y$ -intercept be the positive integer $q.$ Intercept form gives $\begin{gathered} \frac4p+\frac3q=1, \\ q=\frac{3p}{p-4}=3+\frac{12}{p-4}. \end{gathered}$ Thus $p-4$ is a positive divisor of $12.$ Testing $1,2,3,4,6,12$ gives prime $p$ only for $p=5$ and $p=7.$ Therefore there are $2$ lines. Thus the correct answer is C.

1994 AMC 12 Problema 28

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años