Question

Si $\triangle A_1A_2A_3$ es equilátero y $A_{n+3}$ es el punto medio del segmento $A_nA_{n+1}$ para todo entero positivo $n,$ entonces la medida de $\angle A_{44}A_{45}A_{43}$ es igual a

If $\triangle A_1A_2A_3$ is equilateral and $A_{n+3}$ is the midpoint of line segment $A_nA_{n+1}$ for all positive integers $n,$ then the measure of $\angle A_{44}A_{45}A_{43}$ equals

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$90^\circ$

$120^\circ$

Respuesta: E

Conceptos:punto medio recursión vector

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Sea $\mathbf d_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}$ y deriva una recurrencia para estos vectores

Let $\mathbf d_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}$ and derive a recurrence for these vectors

Pista grande:

Demuestra que $\mathbf d_{n+4}=-\frac14\mathbf d_n,$ reduciendo el ángulo pedido a uno formado por los primeros puntos

Show that $\mathbf d_{n+4}=-\frac14\mathbf d_n,$ reducing the requested angle to one among the first few points

Solución:

Sea $\mathbf d_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}.$ La regla del punto medio da $\mathbf d_{n+3}=\frac12(\mathbf d_n+\mathbf d_{n+1})$ y también $\mathbf d_n+\mathbf d_{n+1}+\mathbf d_{n+2}=\frac12\mathbf d_n.$ En consecuencia, $\begin{aligned} \mathbf d_{n+4} &=\frac12(\mathbf d_{n+1}+\mathbf d_{n+2})\\ &=-\frac14\mathbf d_n. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\mathbf d_{43}$ y $\mathbf d_{44}$ son, respectivamente, el mismo múltiplo escalar positivo de $\mathbf d_3$ y $\mathbf d_4,$ de modo que $\angle A_{44}A_{45}A_{43}=\angle A_4A_5A_3.$ Como $A_4$ y $A_5$ son los puntos medios de $A_1A_2$ y $A_2A_3,$ $A_4A_5\parallel A_1A_3.$ Los ángulos del triángulo equilátero dan entonces $\angle A_4A_5A_3=120^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $\mathbf d_n=\overrightarrow{A_nA_{n+1}}.$ The midpoint rule gives $\mathbf d_{n+3}=\frac12(\mathbf d_n+\mathbf d_{n+1})$ and also $\mathbf d_n+\mathbf d_{n+1}+\mathbf d_{n+2}=\frac12\mathbf d_n.$ Consequently, $\begin{aligned} \mathbf d_{n+4} &=\frac12(\mathbf d_{n+1}+\mathbf d_{n+2})\\ &=-\frac14\mathbf d_n. \end{aligned}$ Thus $\mathbf d_{43}$ and $\mathbf d_{44}$ are the same positive scalar multiple of $\mathbf d_3$ and $\mathbf d_4,$ respectively, so $\angle A_{44}A_{45}A_{43}=\angle A_4A_5A_3.$ Since $A_4$ and $A_5$ are the midpoints of $A_1A_2$ and $A_2A_3,$ $A_4A_5\parallel A_1A_3.$ The equilateral-triangle angles then give $\angle A_4A_5A_3=120^\circ.$

Therefore, the correct answer is E.

1978 AMC 12 Problema 28

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años