Question

$ABCDE$ es un pentágono regular. $AP,$ $AQ$ y $AR$ son las perpendiculares trazadas desde $A$ a $CD,$ a la prolongación de $CB$ y a la prolongación de $DE,$ respectivamente. Sea $O$ el centro del pentágono. Si $OP=1,$ entonces $AO+AQ+AR$ es igual a

$ABCDE$ is a regular pentagon. $AP,$ $AQ$ and $AR$ are the perpendiculars dropped from $A$ onto $CD,$ $CB$ extended and $DE$ extended, respectively. Let $O$ be the center of the pentagon. If $OP=1,$ then $AO+AQ+AR$ equals

$3$

$1+\sqrt5$

$4$

$2+\sqrt5$

$5$

Respuesta: C

Conceptos:regular pentagon descomposición de áreas altura

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Sea $s$ la longitud del lado y calcula el área del pentágono a partir de sus cinco triángulos centrales

Let $s$ be the side length and compute the pentagon’s area from its five central triangles

Pista grande:

Divide también el pentágono en los triángulos $ABC,$ $ACD$ y $ADE,$ cuyas alturas son $AQ,AP,AR$

Also split the pentagon into triangles $ABC,$ $ACD$ and $ADE$ with altitudes $AQ,AP,AR$

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado. Como el apotema $OP=1,$ los cinco triángulos centrales dan un área del pentágono de $\frac{5s}{2}.$ El mismo pentágono es la unión de los triángulos $ABC,$ $ACD$ y $ADE,$ cuyas alturas respectivas sobre bases de la longitud del lado son $AQ,AP,AR.$ Por tanto, $\frac{s}{2}(AQ+AP+AR)=\frac{5s}{2},$ de modo que $AQ+AP+AR=5.$ Además, $AP=AO+OP=AO+1.$ Por consiguiente, $AO+AQ+AR=4.$

Por tanto, la respuesta correcta es C.

Let the side length be $s.$ Since the apothem $OP=1,$ the five central triangles give pentagon area $\frac{5s}{2}.$ The same pentagon is the union of triangles $ABC,$ $ACD$ and $ADE,$ whose respective altitudes to side-length bases are $AQ,AP,AR.$ Hence $\frac{s}{2}(AQ+AP+AR)=\frac{5s}{2},$ so $AQ+AP+AR=5.$ Also $AP=AO+OP=AO+1.$ Therefore $AO+AQ+AR=4.$

Thus the correct answer is C.

1986 AMC 12 Problema 28

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2320

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años