Question

Se toman, en este orden, cinco puntos $O,$ $A,$ $B,$ $C,$ $D$ sobre una recta, con distancias $OA=a,$ $OB=b,$ $OC=c,$ y $OD=d.$ $P$ es un punto de la recta entre $B$ y $C$ tal que $AP:PD=BP:PC.$ Entonces $OP$ es igual a:

Five points $O,$ $A,$ $B,$ $C,$ $D$ are taken in order on a straight line with distances $OA=a,$ $OB=b,$ $OC=c,$ and $OD=d.$ $P$ is a point on the line between $B$ and $C$ and such that $AP:PD=BP:PC.$ Then $OP$ equals:

$\dfrac{b^2-bc}{a-b+c-d}$

$\dfrac{ac-bd}{a-b+c-d}$

$-\dfrac{bd+ac}{a-b+c-d}$

$\dfrac{bc+ad}{a+b+c+d}$

$\dfrac{ac-bd}{a+b+c+d}$

Respuesta: B

Conceptos:ecuación lineal razón y proporción

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Escribe $p=OP.$ Entonces $AP=p-a,$ $PD=d-p,$ $BP=p-b,$ y $PC=c-p$

Write $p=OP.$ Then $AP=p-a,$ $PD=d-p,$ $BP=p-b,$ and $PC=c-p$

Pista grande:

Multiplica en cruz la igualdad de razones después de esas sustituciones

Cross-multiply the two given ratios after making those substitutions

Solución:

Sea $p=OP.$ La razón dada se convierte en $\frac{p-a}{d-p}=\frac{p-b}{c-p}.$ Al multiplicar en cruz se cancelan los términos $p^2$ y se obtiene $p(a-b+c-d)=ac-bd.$ Por lo tanto, $p=\frac{ac-bd}{a-b+c-d}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $p=OP.$ The given ratio becomes $\frac{p-a}{d-p}=\frac{p-b}{c-p}.$ Cross-multiplication cancels the $p^2$ terms and yields $p(a-b+c-d)=ac-bd.$ Therefore $p=\frac{ac-bd}{a-b+c-d}.$

Thus, the correct answer is B.

1966 AMC 12 Problema 28

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años