Question

Inicialmente, una urna contiene $100$ canicas negras y $100$ canicas blancas. Repetidamente se sacan tres canicas de la urna y se reemplazan con canicas de una reserva exterior como sigue:

Canicas retiradas	Se reemplazan por
$3$ negras	$1$ negra
$2$ negras, $1$ blanca	$1$ negra, $1$ blanca
$1$ negra, $2$ blancas	$2$ blancas
$3$ blancas	$1$ negra, $1$ blanca

¿Cuál de los siguientes conjuntos de canicas podría ser el contenido de la urna después de aplicar repetidamente este procedimiento?

Initially an urn contains $100$ black marbles and $100$ white marbles. Repeatedly, three marbles are removed from the urn and replaced from a pile outside the urn as follows:

Marbles removed	Replaced with
$3$ black	$1$ black
$2$ black, $1$ white	$1$ black, $1$ white
$1$ black, $2$ white	$2$ white
$3$ white	$1$ black, $1$ white

Which of the following sets of marbles could be the contents of the urn after repeated applications of this procedure?

$2$ canicas negras

$2$ black marbles

$2$ canicas blancas

$2$ white marbles

$1$ canica negra

$1$ black marble

$1$ canica negra y $1$ canica blanca

$1$ black and $1$ white marble

$1$ canica blanca

$1$ white marble

Respuesta: B

Conceptos:invariante constructive process paridad

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

El número de canicas blancas siempre cambia en $0$ o $2$

The number of white marbles always changes by $0$ or $2$

Pista grande:

Cuando una operación deje por primera vez a lo sumo dos canicas, examina los posibles resultados de esa última operación

When an operation first leaves at most two marbles, inspect the possible outputs of that final operation

Solución:

La paridad del número de canicas blancas nunca cambia, así que las opciones con una canica blanca son imposibles. Además, una operación final que comienza con tres canicas puede dejar $1$ negra, $1$ negra y $1$ blanca, o $2$ blancas, pero nunca $2$ negras. El estado con $2$ blancas es alcanzable: reemplaza repetidamente $3$ negras por $1$ negra hasta que queden $2$ negras; usa dos veces la regla de $1$ negra y $2$ blancas, con lo que quedan $100$ blancas; luego alterna la regla de $3$ blancas con la de $1$ negra y $2$ blancas, reduciendo el número de blancas en $2$ por cada par de operaciones hasta que queden $2$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The parity of the number of white marbles never changes, so choices with one white marble are impossible. Also a final operation starting with three marbles can leave $1$ black, $1$ black and $1$ white, or $2$ white, but never $2$ black. The state with $2$ white is attainable: repeatedly replace $3$ black by $1$ black until $2$ black remain; twice use the $1$ -black- $2$ -white rule, leaving $100$ white; then alternate the $3$ -white rule with the $1$ -black- $2$ -white rule, reducing the number of white marbles by $2$ per pair until $2$ remain.

Thus the correct answer is B.

1991 AMC 12 Problema 28

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años