Inicialmente, una urna contiene 100 canicas negras y 100 canicas blancas. Repetidamente se sacan tres canicas de la urna y se reemplazan con canicas de una reserva exterior como sigue: Canicas retiradas Se reemplazan por 3 negras 1 negra 2 negras, 1 blanca 1 negra, 1 blanca 1 negra, 2 blancas 2 blancas 3 blancas 1 negra, 1 blanca ¿Cuál de los siguientes conjuntos de canicas podría ser el contenido de la urna después de aplicar repetidamente este procedimiento?

(D) 1 canica negra y 1 canica blanca

1991 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

Si para tres números distintos cualesquiera $a,$ $b,$ y $c$ definimos $\boxed{a,b,c}=\frac{c+a}{c-b},$ entonces $\boxed{1,-2,-3}=$

If for any three distinct numbers $a,$ $b,$ and $c$ we define $\boxed{a,b,c}=\frac{c+a}{c-b},$ then $\boxed{1,-2,-3}=$

$-2$

$-\frac25$

$-\frac14$

$\frac25$

$2$

Respuesta: E

Conceptos:defined operation sustitución

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Sustituye $a=1,$ $b=-2,$ y $c=-3$ en la definición

Substitute $a=1,$ $b=-2,$ and $c=-3$ into the definition

Pista grande:

Ten cuidado con los dos signos negativos del denominador

Be careful with the two negative signs in the denominator

Solución:

La sustitución directa da $\begin{aligned} \boxed{1,-2,-3} &=\frac{-3+1}{-3-(-2)}\\ &=\frac{-2}{-1}=2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Direct substitution gives $\begin{aligned} \boxed{1,-2,-3} &=\frac{-3+1}{-3-(-2)}\\ &=\frac{-2}{-1}=2. \end{aligned}$

Thus the correct answer is E.

2.

$|3-\pi|=$

$\frac17$

$0.14$

$3-\pi$

$3+\pi$

$\pi-3$

Respuesta: E

Conceptos:valor absoluto comparing constants

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Recuerda que $\pi\gt3$

Recall that $\pi\gt3$

Pista grande:

El valor absoluto de un número negativo es su opuesto

The absolute value of a negative number is its opposite

Solución:

Como $\pi\gt3,$ la cantidad $3-\pi$ es negativa. Por lo tanto, $|3-\pi|=-(3-\pi)=\pi-3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $\pi\gt3,$ the quantity $3-\pi$ is negative. Therefore $|3-\pi|=-(3-\pi)=\pi-3.$

Thus the correct answer is E.

3.

$\left(4^{-1}-3^{-1}\right)^{-1}=$

$-12$

$-1$

$\frac1{12}$

$1$

$12$

Respuesta: A

Conceptos:negative exponent reciprocal fraction subtraction

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Reescribe las primeras potencias negativas como recíprocos

Rewrite the negative first powers as reciprocals

Pista grande:

Primero simplifica $\frac14-\frac13$ , y luego toma su recíproco

First simplify $\frac14-\frac13$ , then take its reciprocal

Solución:

Tenemos $4^{-1}-3^{-1}=\frac14-\frac13=-\frac1{12}.$ Elevar este resultado a la potencia $-1$ toma su recíproco y da $-12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have $4^{-1}-3^{-1}=\frac14-\frac13=-\frac1{12}.$ Raising this result to the power $-1$ takes its reciprocal, giving $-12.$

Thus the correct answer is A.

4.

¿Cuál de los siguientes triángulos no puede existir?

Which of the following triangles cannot exist?

Un triángulo isósceles acutángulo

An acute isosceles triangle

Un triángulo rectángulo isósceles

An isosceles right triangle

Un triángulo rectángulo obtusángulo

An obtuse right triangle

Un triángulo rectángulo escaleno

A scalene right triangle

Un triángulo obtusángulo escaleno

A scalene obtuse triangle

Respuesta: C

Conceptos:triangle angle classification

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Un triángulo rectángulo ya contiene un ángulo de $90^\circ$

A right triangle already contains an angle of $90^\circ$

Pista grande:

Un triángulo obtusángulo debe contener un ángulo mayor que $90^\circ$

An obtuse triangle must contain an angle greater than $90^\circ$

Solución:

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de $90^\circ$ , por lo que sus otros dos ángulos positivos suman solo $90^\circ$ . Ninguno de ellos puede ser obtuso. Por consiguiente, un triángulo no puede ser a la vez rectángulo y obtusángulo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A right triangle has one $90^\circ$ angle, leaving only $90^\circ$ for its other two positive angles together. Neither remaining angle can therefore be obtuse. Hence a triangle cannot be both right and obtuse.

Thus the correct answer is C.

5.

En el polígono con forma de flecha que se muestra, los ángulos en los vértices $A,$ $C,$ $D,$ $E,$ y $F$ son rectos, $BC=FG=5,$ $CD=FE=20,$ $DE=10,$ y $AB=AG.$ ¿A cuál valor se aproxima más el área del polígono?

In the arrow-shaped polygon shown, the angles at vertices $A,$ $C,$ $D,$ $E,$ and $F$ are right angles, $BC=FG=5,$ $CD=FE=20,$ $DE=10,$ and $AB=AG.$ The area of the polygon is closest to

$288$

$291$

$294$

$297$

$300$

Respuesta: E

Conceptos:polygon area decomposition isosceles right triangle

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Separa la punta de la flecha del asta rectangular

Separate the arrowhead from the rectangular shaft

Pista grande:

Usa $AB=AG$ y los dos ángulos rectos en $C$ y $F$ para determinar la punta

Use $AB=AG$ and the two right angles at $C$ and $F$ to determine the arrowhead

Solución:

El asta $CDEF$ es un rectángulo de $20$ por $10$ , así que su área es $200.$ Además, $BG=BC+CF+FG$ $=5+10+5=20.$ Como $\angle BAG=90^\circ$ y $AB=AG,$ el triángulo $ABG$ es un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa $20.$ Sus catetos miden $10\sqrt2,$ así que su área es $\frac12(10\sqrt2)^2=100.$ El área total es $200+100=300.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The shaft $CDEF$ is a $20$ -by- $10$ rectangle, so its area is $200.$ Also $BG=BC+CF+FG$ $=5+10+5=20.$ Because $\angle BAG=90^\circ$ and $AB=AG,$ triangle $ABG$ is an isosceles right triangle with hypotenuse $20.$ Its legs are $10\sqrt2,$ so its area is $\frac12(10\sqrt2)^2=100.$ The total area is $200+100=300.$

Thus the correct answer is E.

6.

Si $x\ge0,$ entonces $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}=$

If $x\ge0,$ then $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}=$

$x\sqrt{x}$

$x\sqrt[4]{x}$

$\sqrt[8]{x}$

$\sqrt[8]{x^3}$

$\sqrt[8]{x^7}$

Respuesta: E

Conceptos:nested radical fractional exponent

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Trabaja desde la raíz cuadrada más interna hacia afuera

Work from the innermost square root outward

Pista grande:

Reescribe cada raíz cuadrada como una potencia de $\frac{1}{2}$

Rewrite each square root as a power of $\frac{1}{2}$

Solución:

Comenzando desde el interior y usando exponentes fraccionarios, $\begin{aligned} \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} &=\sqrt{x\cdot x^{\frac{3}{4}}}\\ &=x^{\frac{7}{8}} =\sqrt[8]{x^7}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Starting inside and using fractional exponents, $\begin{aligned} \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} &=\sqrt{x\cdot x^{\frac{3}{4}}}\\ &=x^{\frac{7}{8}} =\sqrt[8]{x^7}. \end{aligned}$

Thus the correct answer is E.

7.

Si $x=\frac{a}{b},$ $a\ne b,$ y $b\ne0,$ entonces $\dfrac{a+b}{a-b}=$

If $x=\frac{a}{b},$ $a\ne b,$ and $b\ne0,$ then $\dfrac{a+b}{a-b}=$

$\frac{x}{x+1}$

$\frac{x+1}{x-1}$

$1$

$x-\frac1x$

$x+\frac1x$

Respuesta: B

Conceptos:algebraic substitution rational expression

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Divide el numerador y el denominador entre $b$

Divide the numerator and denominator by $b$

Pista grande:

Reemplaza cada aparición de $\frac{a}{b}$ por $x$

Replace each occurrence of $\frac{a}{b}$ by $x$

Solución:

Al dividir tanto el numerador como el denominador entre el número no nulo $b$ , obtenemos $\frac{a+b}{a-b}=\frac{\frac{a}{b}+1}{\frac{a}{b}-1}=\frac{x+1}{x-1}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Dividing both numerator and denominator by the nonzero number $b$ gives $\frac{a+b}{a-b}=\frac{\frac{a}{b}+1}{\frac{a}{b}-1}=\frac{x+1}{x-1}.$

Thus the correct answer is B.

8.

El líquido $X$ no se mezcla con el agua. Si nada lo obstruye, se extiende sobre la superficie del agua y forma una película circular de $0.1$ cm de espesor. Una caja rectangular que mide $6$ cm por $3$ cm por $12$ cm está llena de líquido $X.$ Se vierte su contenido sobre una gran masa de agua. ¿Cuál será el radio, en centímetros, de la película circular resultante?

Liquid $X$ does not mix with water. Unless obstructed, it spreads out on the surface of water to form a circular film $0.1$ cm thick. A rectangular box measuring $6$ cm by $3$ cm by $12$ cm is filled with liquid $X.$ Its contents are poured onto a large body of water. What will be the radius, in centimeters, of the resulting circular film?

$\frac{\sqrt{216}}{\pi}$

$\sqrt{\frac{216}{\pi}}$

$\sqrt{\frac{2160}{\pi}}$

$\frac{216}{\pi}$

$\frac{2160}{\pi}$

Respuesta: C

Conceptos:volume conservation cilindro área del círculo

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Iguala el volumen de la caja con el volumen de la película circular delgada

Equate the volume in the box to the volume of the thin circular film

Pista grande:

El volumen de la película es $\pi r^2(0.1)$

The film volume is $\pi r^2(0.1)$

Solución:

El volumen del líquido es $6\cdot3\cdot12=216$ centímetros cúbicos. Por lo tanto, $0.1\pi r^2=216,$ de modo que $r^2=\frac{2160}{\pi}$ y $r=\sqrt{\frac{2160}{\pi}}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The liquid volume is $6\cdot3\cdot12=216$ cubic centimeters. Thus $0.1\pi r^2=216,$ so $r^2=\frac{2160}{\pi}$ and $r=\sqrt{\frac{2160}{\pi}}.$

Thus the correct answer is C.

9.

Desde el tiempo $t=0$ hasta el tiempo $t=1$ , una población aumentó un $i\%,$ y desde el tiempo $t=1$ hasta el tiempo $t=2$ , aumentó un $j\%.$ Por lo tanto, desde el tiempo $t=0$ hasta el tiempo $t=2$ , la población aumentó un

From time $t=0$ to time $t=1$ a population increased by $i\%,$ and from time $t=1$ to time $t=2$ the population increased by $j\%.$ Therefore, from time $t=0$ to time $t=2$ the population increased by

$(i+j)\%$

$ij\%$

$(i+ij)\%$

$\left(i+j+\frac{ij}{100}\right)\%$

$\left(i+j+\frac{i+j}{100}\right)\%$

Respuesta: D

Conceptos:percent change compound growth

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Representa los dos aumentos mediante factores de multiplicación

Represent the two increases by multiplication factors

Pista grande:

Desarrolla $\left(1+\frac{i}{100}\right)\left(1+\frac{j}{100}\right)$

Expand $\left(1+\frac{i}{100}\right)\left(1+\frac{j}{100}\right)$

Solución:

El factor de crecimiento combinado es $\begin{aligned} &\left(1+\frac{i}{100}\right) \left(1+\frac{j}{100}\right)\\ &\qquad=1+\frac{i+j}{100} +\frac{ij}{10000}. \end{aligned}$ Por lo tanto, el aumento porcentual es $i+j+\frac{ij}{100}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The combined growth factor is $\begin{aligned} &\left(1+\frac{i}{100}\right) \left(1+\frac{j}{100}\right)\\ &\qquad=1+\frac{i+j}{100} +\frac{ij}{10000}. \end{aligned}$ Hence the percent increase is $i+j+\frac{ij}{100}.$

Thus the correct answer is D.

10.

El punto $P$ está a $9$ unidades del centro de un círculo de radio $15.$ ¿Cuántas cuerdas distintas del círculo contienen a $P$ y tienen longitudes enteras?

Point $P$ is $9$ units from the center of a circle of radius $15.$ How many different chords of the circle contain $P$ and have integer lengths?

$11$

$12$

$13$

$14$

$29$

Respuesta: B

Conceptos:circle chord distance counting

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Halla la cuerda más corta y la más larga que pasan por $P$

Find the shortest and longest chord through $P$

Pista grande:

Salvo en las longitudes extremas, cada longitud alcanzable aparece en dos direcciones

Except at the extreme lengths, each attainable chord length occurs in two directions

Solución:

La cuerda más larga que pasa por $P$ es un diámetro de longitud $30.$ La más corta es perpendicular al radio que pasa por $P,$ y tiene longitud $2\sqrt{15^2-9^2}=24.$ Al girar la cuerda entre estas posiciones, su longitud varía continuamente de $24$ a $30.$ Cada longitud extrema aparece una vez, mientras que cada una de las cinco longitudes enteras interiores $25,26,27,28,29$ aparece dos veces. Así, el total es $1+2(5)+1=12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The longest chord through $P$ is a diameter of length $30.$ The shortest is perpendicular to the radius through $P,$ and has length $2\sqrt{15^2-9^2}=24.$ As the chord rotates between these positions, its length varies continuously from $24$ to $30.$ The endpoint lengths each occur once, while each of the five interior integer lengths $25,26,27,28,29$ occurs twice. Thus the count is $1+2(5)+1=12.$

Thus the correct answer is B.

11.

Jack y Jill recorren $10$ kilómetros. Parten del mismo punto, suben $5$ kilómetros por una colina y regresan al punto de partida por la misma ruta. Jack sale con $10$ minutos de ventaja y corre a $15$ km/h cuesta arriba y a $20$ km/h cuesta abajo. Jill corre a $16$ km/h cuesta arriba y a $22$ km/h cuesta abajo. ¿A qué distancia de la cima están cuando se cruzan en sentidos opuestos?

Jack and Jill run $10$ kilometers. They start at the same point, run $5$ kilometers up a hill, and return to the starting point by the same route. Jack has a $10$ -minute head start and runs at the rate of $15$ km/hr uphill and $20$ km/hr downhill. Jill runs $16$ km/hr uphill and $22$ km/hr downhill. How far from the top of the hill are they when they pass going in opposite directions?

$\frac54$ kilómetros

$\frac54$ km

$\frac{35}{27}$ kilómetros

$\frac{35}{27}$ km

$\frac{27}{20}$ kilómetros

$\frac{27}{20}$ km

$\frac73$ kilómetros

$\frac73$ km

$\frac{28}{9}$ kilómetros

$\frac{28}{9}$ km

Respuesta: B

Conceptos:relative motion rates distance

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Determina la posición de Jill cuando Jack llega a la cima

Determine Jill’s position when Jack reaches the top

Pista grande:

Después de que Jack dé la vuelta, usa la suma de sus velocidades de aproximación

After Jack turns around, use their combined closing speed

Solución:

Jack llega a la cima en $\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$ de hora. Para entonces, Jill ha corrido durante $\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$ de hora y ha avanzado $\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$ km cuesta arriba, por lo que están separados por $5-\frac{8}{3}=\frac{7}{3}$ km. Su velocidad de aproximación es $20+16=36$ km/h, así que se encuentran después de $\frac{\frac{7}{3}}{36}=\frac{7}{108}$ de hora. Jack desciende $20\left(\frac7{108}\right)=\frac{35}{27}$ kilómetros.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Jack reaches the top in $\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$ hour. Jill has then run for $\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$ hour and is $\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$ km uphill, so they are $5-\frac{8}{3}=\frac{7}{3}$ km apart. Their closing speed is $20+16=36$ km/hr, so they meet after $\frac{\frac{7}{3}}{36}=\frac{7}{108}$ hour. Jack descends $20\left(\frac7{108}\right)=\frac{35}{27}$ kilometers.

Thus the correct answer is B.

12.

Las medidas, en grados, de los ángulos interiores de un hexágono convexo forman una sucesión aritmética de enteros positivos. Sea $m^\circ$ la medida del ángulo interior mayor. El mayor valor posible de $m^\circ$ es

The measures (in degrees) of the interior angles of a convex hexagon form an arithmetic sequence of positive integers. Let $m^\circ$ be the measure of the largest interior angle of the hexagon. The largest possible value of $m^\circ$ is

$165^\circ$

$167^\circ$

$170^\circ$

$175^\circ$

$179^\circ$

Respuesta: D

Conceptos:polygon angle sum sucesión aritmética divisibilidad

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Escribe los ángulos como $a,a+d,\ldots,a+5d$ y usa su suma

Write the angles as $a,a+d,\ldots,a+5d$ and use their sum

Pista grande:

La ecuación obliga a que $d$ sea par, y la convexidad acota el ángulo mayor por debajo de $180^\circ$

The equation forces $d$ to be even, and convexity bounds the largest angle below $180^\circ$

Solución:

La suma de los ángulos es $720^\circ,$ así que $\begin{aligned} 6a+15d&=720,\\ 2a+5d&=240. \end{aligned}$ Por lo tanto, $d$ es par. El ángulo mayor es $a+5d=120+\frac52d,$ que debe ser menor que $180.$ Así, $d\lt24,$ y el mayor valor par permitido es $d=22.$ Esto da $a=65$ y $m=65+5(22)=175.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The angle sum is $720^\circ,$ so $\begin{aligned} 6a+15d&=720,\\ 2a+5d&=240. \end{aligned}$ Hence $d$ is even. The largest angle is $a+5d=120+\frac52d,$ which must be less than $180.$ Thus $d\lt24,$ and the largest allowable even value is $d=22.$ It gives $a=65$ and $m=65+5(22)=175.$

Thus the correct answer is D.

13.

Los caballos $X,$ $Y,$ y $Z$ participan en una carrera de tres caballos en la que no hay empates. Si las probabilidades en contra de que gane $X$ son de $3$ a $1$ , y las probabilidades en contra de que gane $Y$ son de $2$ a $3,$ ¿cuáles son las probabilidades en contra de que gane $Z$ ? (Decir que «las probabilidades en contra de que gane $H$ son de $p$ a $q$ » significa que la probabilidad de que $H$ gane la carrera es $\frac{q}{p+q}.$ )

Horses $X,$ $Y,$ and $Z$ are entered in a three-horse race in which ties are not possible. If the odds against $X$ winning are $3$ -to- $1$ and the odds against $Y$ winning are $2$ -to- $3,$ what are the odds against $Z$ winning? (By “odds against $H$ winning are $p$ -to- $q$ ” we mean that the probability of $H$ winning the race is $\frac{q}{p+q}.$ )

$3$ a $20$

$3$ -to- $20$

$5$ a $6$

$5$ -to- $6$

$8$ a $5$

$8$ -to- $5$

$17$ a $3$

$17$ -to- $3$

$20$ a $3$

$20$ -to- $3$

Respuesta: D

Conceptos:probability odds complementary events

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Convierte cada razón de probabilidades en una probabilidad

Convert each set of odds to a probability

Pista grande:

Las tres probabilidades de ganar suman $1$

The three winning probabilities sum to $1$

Solución:

Las probabilidades dadas son $P(X)=\frac14$ y $P(Y)=\frac35.$ Por lo tanto, $P(Z)=1-\frac14-\frac35=\frac3{20}.$ La probabilidad de que $Z$ pierda es $\frac{17}{20},$ así que las probabilidades en contra de $Z$ son de $17$ a $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The given probabilities are $P(X)=\frac14$ and $P(Y)=\frac35.$ Therefore $P(Z)=1-\frac14-\frac35=\frac3{20}.$ The probability that $Z$ loses is $\frac{17}{20},$ so the odds against $Z$ are $17$ -to- $3.$

Thus the correct answer is D.

14.

Si $x$ es el cubo de un entero positivo y $d$ es el número de enteros positivos que dividen a $x,$ entonces $d$ podría ser

If $x$ is the cube of a positive integer and $d$ is the number of positive integers that are divisors of $x,$ then $d$ could be

$200$

$201$

$202$

$203$

$204$

Respuesta: C

Conceptos:divisor count factorización en primos perfect cube

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

En la factorización prima de un cubo, cada exponente es divisible entre $3$

In the prime factorization of a cube, every exponent is divisible by $3$

Pista grande:

Prueba con un cubo que tenga un solo factor primo

Try a cube having only one prime factor

Solución:

Para cualquier primo $p,$ toma $x=p^{201}=(p^{67})^3.$ Este número es un cubo y sus divisores positivos son $1,p,p^2,\ldots,p^{201},$ un total de $202.$ Por lo tanto, $202$ puede ocurrir.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For any prime $p,$ take $x=p^{201}=(p^{67})^3.$ This is a cube, and its positive divisors are $1,p,p^2,\ldots,p^{201},$ a total of $202.$ Thus $202$ can occur.

Thus the correct answer is C.

15.

Una mesa circular tiene exactamente $60$ sillas a su alrededor. Hay $N$ personas sentadas de modo que la siguiente persona que se siente tendrá que hacerlo junto a alguien. El menor valor posible de $N$ es

A circular table has exactly $60$ chairs around it. There are $N$ people seated at this table in such a way that the next person to be seated must sit next to someone. The smallest possible value of $N$ is

$15$

$20$

$30$

$40$

$58$

Respuesta: B

Conceptos:circular arrangement covering extremal counting

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Ninguna silla vacía puede tener vacías sus dos sillas vecinas

No empty chair can have both neighboring chairs empty

Pista grande:

Entre dos sillas ocupadas consecutivas puede haber como máximo dos sillas vacías

Between consecutive occupied chairs there can be at most two empty chairs

Solución:

La condición dice que toda silla vacía tiene una vecina ocupada, así que no puede haber tres sillas vacías consecutivas. Por lo tanto, cada silla ocupada puede dar cuenta, como máximo, de sí misma y de las dos sillas vacías que la siguen, lo cual da $60\le3N$ y $N\ge20.$ Repetir el patrón ocupada-vacía-vacía alrededor de la mesa alcanza $N=20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The condition says that every empty chair has an occupied neighbor, so no three consecutive chairs may all be empty. Therefore each occupied chair can account for at most itself and the two empty chairs following it, giving $60\le3N$ and $N\ge20.$ Repeating the pattern occupied-empty-empty around the table attains $N=20.$

Thus the correct answer is B.

16.

El año pasado, cien estudiantes de la Escuela Secundaria Century participaron en el AHSME, y su puntuación media fue $100.$ El número de estudiantes que no estaban en el último curso fue un $50\%$ mayor que el de estudiantes del último curso, y la puntuación media de estos últimos fue un $50\%$ mayor que la de los demás. ¿Cuál fue la puntuación media de los estudiantes del último curso?

One hundred students at Century High School participated in the AHSME last year, and their mean score was $100.$ The number of non-seniors taking the AHSME was $50\%$ more than the number of seniors, and the mean score of the seniors was $50\%$ higher than that of the non-seniors. What was the mean score of the seniors?

$100$

$112.5$

$120$

$125$

$150$

Respuesta: D

Conceptos:weighted average percent ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Determina primero cuántos estudiantes había en cada grupo

First determine the numbers of seniors and non-seniors

Pista grande:

Sea $x$ la media de quienes no estaban en el último curso y plantea una ecuación de promedio ponderado

Let the non-senior mean be $x$ and form a weighted-average equation

Solución:

Si hay $s$ estudiantes del último curso, hay $1.5s$ de los demás, así que $2.5s=100$ y $s=40.$ Sea $x$ la media de quienes no estaban en el último curso; la media de los del último curso es $1.5x.$ La ecuación para la puntuación total es $60x+40(1.5x)=100(100),$ por lo que $120x=10000,$ y la media de los estudiantes del último curso es $1.5x=125.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If there are $s$ seniors, then there are $1.5s$ non-seniors, so $2.5s=100$ and $s=40.$ Let the non-senior mean be $x;$ the senior mean is $1.5x.$ The total score equation is $60x+40(1.5x)=100(100),$ so $120x=10000,$ and the senior mean is $1.5x=125.$

Thus the correct answer is D.

17.

Un entero positivo $N$ es un palíndromo si el entero obtenido al invertir la sucesión de cifras de $N$ es igual a $N.$ El año $1991$ es el único del siglo actual que tiene las dos propiedades siguientes:

(a) Es un palíndromo.

(b) Se factoriza como el producto de un palíndromo primo de $2$ cifras y un palíndromo primo de $3$ cifras.

¿Cuántos años del milenio entre $1000$ y $2000$ , incluido $1991$ , tienen las propiedades (a) y (b)?

A positive integer $N$ is a palindrome if the integer obtained by reversing the sequence of digits of $N$ is equal to $N.$ The year $1991$ is the only year in the current century with the following two properties:

(a) It is a palindrome.

(b) It factors as a product of a $2$ -digit prime palindrome and a $3$ -digit prime palindrome.

How many years in the millennium between $1000$ and $2000$ (including the year $1991$ ) have properties (a) and (b)?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: D

Conceptos:palíndromo factorización en primos divisibilidad

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Todo palíndromo de cuatro cifras entre $1000$ y $2000$ tiene la forma $1dd1$

Every four-digit palindrome from $1000$ to $2000$ has the form $1dd1$

Pista grande:

Factoriza $1dd1$ como $11(91+10d)$ y prueba cuándo el factor de tres cifras es primo

Factor $1dd1$ as $11(91+10d)$ and test when the three-digit factor is prime

Solución:

Los palíndromos del intervalo son $1dd1,$ donde $d$ es una cifra. Algebraicamente, $\begin{aligned} 1dd1&=1001+110d\\ &=11(91+10d). \end{aligned}$ Por lo tanto, el palíndromo primo de dos cifras debe ser $11,$ y $91+10d$ debe ser un palíndromo primo de tres cifras. Para $d=0,1,\ldots,9,$ los valores primos ocurren cuando $d=1,4,6,9,$ y dan $101,131,151,181.$ Por consiguiente, hay $4$ años.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The palindromes in the interval are $1dd1,$ where $d$ is a digit. Algebraically, $\begin{aligned} 1dd1&=1001+110d\\ &=11(91+10d). \end{aligned}$ The two-digit prime palindrome must therefore be $11,$ and $91+10d$ must be a three-digit prime palindrome. For $d=0,1,\ldots,9,$ the prime values occur for $d=1,4,6,9,$ giving $101,131,151,181.$ Thus there are $4$ years.

Thus the correct answer is D.

18.

Si $S$ es el conjunto de puntos $z$ del plano complejo tales que $(3+4i)z$ es un número real, entonces $S$ es una

If $S$ is the set of points $z$ in the complex plane such that $(3+4i)z$ is a real number, then $S$ is a

triángulo rectángulo

right triangle

circunferencia

circle

hipérbola

hyperbola

recta

line

parábola

parabola

Respuesta: D

Conceptos:complex plane real and imaginary parts locus

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Escribe $z=x+yi$ y desarrolla el producto

Write $z=x+yi$ and expand the product

Pista grande:

Iguala a cero la parte imaginaria de $(3+4i)(x+yi)$

Set the imaginary part of $(3+4i)(x+yi)$ equal to zero

Solución:

Al escribir $z=x+yi,$ obtenemos $\begin{aligned} (3+4i)z &=(3x-4y)\\ &\quad +(4x+3y)i. \end{aligned}$ Esta expresión es real exactamente cuando $4x+3y=0,$ que es la ecuación de una recta que pasa por el origen.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Writing $z=x+yi,$ $\begin{aligned} (3+4i)z &=(3x-4y)\\ &\quad +(4x+3y)i. \end{aligned}$ This is real exactly when $4x+3y=0,$ which is the equation of a line through the origin.

Thus the correct answer is D.

19.

El triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en $C,$ $AC=3,$ y $BC=4.$ El triángulo $ABD$ tiene un ángulo recto en $A$ y $AD=12.$ Los puntos $C$ y $D$ están en lados opuestos de $AB.$ La recta que pasa por $D$ y es paralela a $AC$ corta a la prolongación de $CB$ en $E.$ Si $\frac{DE}{DB}=\frac mn,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos, entonces $m+n=$

Triangle $ABC$ has a right angle at $C,$ $AC=3,$ and $BC=4.$ Triangle $ABD$ has a right angle at $A$ and $AD=12.$ Points $C$ and $D$ are on opposite sides of $AB.$ The line through $D$ parallel to $AC$ meets $CB$ extended at $E.$ If $\frac{DE}{DB}=\frac mn,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, then $m+n=$

$25$

$128$

$153$

$243$

$256$

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica perpendicular vectors distance

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Coloca $C=(0,0),$ $A=(0,3),$ y $B=(4,0)$

Place $C=(0,0),$ $A=(0,3),$ and $B=(4,0)$

Pista grande:

Halla $D$ mediante un vector de longitud $12$ perpendicular a $\overrightarrow{AB}$

Find $D$ by using a length- $12$ vector perpendicular to $\overrightarrow{AB}$

Solución:

Coloca $C=(0,0),$ $A=(0,3),$ y $B=(4,0).$ Como $\overrightarrow{AB}=(4,-3),$ el vector de longitud $12$ , perpendicular a $\overrightarrow{AB}$ y dirigido en sentido opuesto a $C$ , es $(\frac{36}{5},\frac{48}{5}).$ Por tanto, $D=(\frac{36}{5},\frac{63}{5}).$ Como $DE\parallel AC,$ tenemos $E=(\frac{36}{5},0),$ de modo que $DE=\frac{63}{5}$ y $DB=13.$ Entonces $\frac{DE}{DB}=\frac{\frac{63}{5}}{13}=\frac{63}{65}.$ Por lo tanto, $m+n=63+65=128.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place $C=(0,0),$ $A=(0,3),$ and $B=(4,0).$ Since $\overrightarrow{AB}=(4,-3),$ the length- $12$ vector perpendicular to $\overrightarrow{AB}$ and directed away from $C$ is $(\frac{36}{5},\frac{48}{5}).$ Hence $D=(\frac{36}{5},\frac{63}{5}).$ Since $DE\parallel AC,$ we have $E=(\frac{36}{5},0),$ so $DE=\frac{63}{5}$ and $DB=13.$ Therefore $\frac{DE}{DB}=\frac{\frac{63}{5}}{13}=\frac{63}{65}.$ Thus $m+n=63+65=128.$

Thus the correct answer is B.

20.

La suma de todos los números reales $x$ tales que $\begin{aligned} &(2^x-4)^3+(4^x-2)^3\\ &\qquad=(4^x+2^x-6)^3 \end{aligned}$ es

The sum of all real $x$ such that $\begin{aligned} &(2^x-4)^3+(4^x-2)^3\\ &\qquad=(4^x+2^x-6)^3 \end{aligned}$ is

$\frac32$

$2$

$\frac52$

$3$

$\frac72$

Respuesta: E

Conceptos:sum of cubes exponential equation factorización

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Sea $a=2^x-4$ y $b=4^x-2$

Set $a=2^x-4$ and $b=4^x-2$

Pista grande:

Factoriza $a^3+b^3-(a+b)^3$ como $-3ab(a+b)$

Factor $a^3+b^3-(a+b)^3$ as $-3ab(a+b)$

Solución:

Sean $a=2^x-4$ y $b=4^x-2.$ El lado derecho es $(a+b)^3,$ así que $a^3+b^3=(a+b)^3$ equivale a $ab(a+b)=0.$ Los casos dan $2^x=4,$ $4^x=2,$ o $4^x+2^x=6,$ cuyas soluciones reales son $x=2,\frac12,$ y $1,$ respectivamente. Su suma es $2+\frac12+1=\frac72.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $a=2^x-4$ and $b=4^x-2.$ The right side is $(a+b)^3,$ so $a^3+b^3=(a+b)^3$ is equivalent to $ab(a+b)=0.$ The cases give $2^x=4,$ $4^x=2,$ or $4^x+2^x=6,$ whose real solutions are $x=2,\frac12,$ and $1,$ respectively. Their sum is $2+\frac12+1=\frac72.$

Thus the correct answer is E.

21.

Si $f\left(\frac{x}{x-1}\right)=\frac1x$ para todo $x\notin\{0,1\},$ y $0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2},$ entonces $f(\sec^2\theta)=$

If $f\left(\frac{x}{x-1}\right)=\frac1x$ for all $x\notin\{0,1\},$ and $0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2},$ then $f(\sec^2\theta)=$

$\sin^2\theta$

$\cos^2\theta$

$\tan^2\theta$

$\cot^2\theta$

$\csc^2\theta$

Respuesta: A

Conceptos:function substitution identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Elige $x$ de modo que $\frac{1}{x}=\sec^2\theta$

Choose $x$ so that $\frac{1}{x}=\sec^2\theta$

Pista grande:

Usa $1-\cos^2\theta=\sin^2\theta$

Use $1-\cos^2\theta=\sin^2\theta$

Solución:

Como $\sec^2\theta=\frac1{\cos^2\theta} =\frac{\csc^2\theta}{\csc^2\theta-1},$ elige $x=\csc^2\theta$ en la definición. Entonces $f(\sec^2\theta)=\frac1{\csc^2\theta}=\sin^2\theta.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $\sec^2\theta=\frac1{\cos^2\theta} =\frac{\csc^2\theta}{\csc^2\theta-1},$ choose $x=\csc^2\theta$ in the definition. Then $f(\sec^2\theta)=\frac1{\csc^2\theta}=\sin^2\theta.$

Thus the correct answer is A.

22.

Dos círculos son tangentes exteriormente. Las rectas $PAB$ y $PA'B'$ son tangentes comunes, con $A$ y $A'$ en el círculo menor y $B$ y $B'$ en el mayor. Si $PA=AB=4,$ entonces el área del círculo menor es

Two circles are externally tangent. Lines $PAB$ and $PA'B'$ are common tangents with $A$ and $A'$ on the smaller circle and $B$ and $B'$ on the larger circle. If $PA=AB=4,$ then the area of the smaller circle is

$1.44\pi$

$2\pi$

$2.56\pi$

$\sqrt8\pi$

$4\pi$

Respuesta: B

Conceptos:circunferencias tangentes homotecia potencia de un punto

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Los dos círculos están relacionados por una homotecia con centro en $P$

The two circles are related by a dilation centered at $P$

Pista grande:

Usa $PA=4,$ $PB=8$ para hallar la razón de homotecia y luego aplica la relación de la tangente al círculo menor

Use $PA=4,$ $PB=8$ to find the dilation ratio, then apply the tangent-length relation to the smaller circle

Solución:

Como $PA=4$ y $AB=4,$ tenemos $PB=8.$ Por lo tanto, la homotecia con centro en $P$ que lleva el círculo menor al mayor tiene razón $2.$ Si el radio menor es $r,$ su centro está a $3r$ de $P:$ los centros están sobre el mismo rayo, sus distancias a $P$ tienen razón $2,$ y su diferencia es $r+2r=3r.$ Al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por $P,$ el centro del círculo menor y $A$ , $PA^2=(3r)^2-r^2=8r^2.$ Así, $16=8r^2,$ por lo que $r^2=2$ y el área es $2\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $PA=4$ and $AB=4,$ we have $PB=8.$ The homothety centered at $P$ taking the smaller circle to the larger therefore has ratio $2.$ If the smaller radius is $r,$ its center is $3r$ from $P:$ the centers are on the same ray, their distances from $P$ have ratio $2,$ and their difference is $r+2r=3r.$ Applying the right triangle formed by $P,$ the small center, and $A$ , $PA^2=(3r)^2-r^2=8r^2.$ Thus $16=8r^2,$ so $r^2=2$ and the area is $2\pi.$

Thus the correct answer is B.

23.

Si $ABCD$ es un cuadrado de $2\times2$ , $E$ es el punto medio de $AB,$ $F$ es el punto medio de $BC,$ $AF$ y $DE$ se cortan en $I,$ y $BD$ y $AF$ se cortan en $H,$ entonces el área del cuadrilátero $BEIH$ es

If $ABCD$ is a $2\times2$ square, $E$ is the midpoint of $AB,$ $F$ is the midpoint of $BC,$ $AF$ and $DE$ intersect at $I,$ and $BD$ and $AF$ intersect at $H,$ then the area of quadrilateral $BEIH$ is

$\frac13$

$\frac25$

$\frac7{15}$

$\frac8{15}$

$\frac35$

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica line intersection polygon area

Nivel de dificultad: 2250

Pista pequeña:

Asigna coordenadas al cuadrado y escribe las ecuaciones de $AF,$ $DE,$ y $BD$

Assign coordinates to the square and write equations for $AF,$ $DE,$ and $BD$

Pista grande:

Halla $I$ y $H,$ y luego usa la fórmula del zapatero con $B,E,I,H$

Find $I$ and $H,$ then use the shoelace formula on $B,E,I,H$

Solución:

Sea $B=(0,0),$ $C=(2,0),$ $D=(2,2),$ y $A=(0,2).$ Entonces $E=(0,1),$ $F=(1,0),$ y las intersecciones son $\begin{aligned} I&=AF\cap DE =\left(\frac25,\frac65\right),\\ H&=AF\cap BD =\left(\frac23,\frac23\right). \end{aligned}$ La fórmula del zapatero da $\begin{aligned} [BEIH] &=\frac12\left| \frac4{15}-\frac25-\frac45 \right|\\ &=\frac7{15}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Set $B=(0,0),$ $C=(2,0),$ $D=(2,2),$ and $A=(0,2).$ Then $E=(0,1),$ $F=(1,0),$ and the line intersections are $\begin{aligned} I&=AF\cap DE =\left(\frac25,\frac65\right),\\ H&=AF\cap BD =\left(\frac23,\frac23\right). \end{aligned}$ The shoelace formula gives $\begin{aligned} [BEIH] &=\frac12\left| \frac4{15}-\frac25-\frac45 \right|\\ &=\frac7{15}. \end{aligned}$

Thus the correct answer is C.

24.

La gráfica $G$ de $y=\log_{10}x$ gira $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen para obtener una nueva gráfica $G'.$ ¿Cuál de las siguientes es una ecuación de $G'$ ?

The graph, $G,$ of $y=\log_{10}x$ is rotated $90^\circ$ counter-clockwise about the origin to obtain a new graph $G'.$ Which of the following is an equation for $G'?$

$y=\log_{10}\left(\frac{x+90}{9}\right)$

$y=\log_x10$

$y=\frac1{x+1}$

$y=10^{-x}$

$y=10^x$

Respuesta: D

Conceptos:graph transformation rotation logaritmo exponential

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Un giro de $90^\circ$ en sentido antihorario lleva $(x,y)$ a $(-y,x)$

A $90^\circ$ counter-clockwise rotation sends $(x,y)$ to $(-y,x)$

Pista grande:

Renombra las coordenadas giradas y despeja la nueva $y$ en la relación logarítmica

Rename the rotated coordinates and solve the logarithmic relation for the new $y$

Solución:

Un punto $(u,\log_{10}u)$ gira hasta $(x,y)=(-\log_{10}u,u).$ Por consiguiente, $x=-\log_{10}y,$ así que $\log_{10}y=-x$ y $y=10^{-x}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A point $(u,\log_{10}u)$ rotates to $(x,y)=(-\log_{10}u,u).$ Hence $x=-\log_{10}y,$ so $\log_{10}y=-x$ and $y=10^{-x}.$

Thus the correct answer is D.

25.

Si $T_n=1+2+3+\cdots+n$ y $\begin{aligned} P_n&=\frac{T_2}{T_2-1} \cdot\frac{T_3}{T_3-1}\\ &\quad\cdot\frac{T_4}{T_4-1} \cdots\frac{T_n}{T_n-1} \end{aligned}$ para $n=2,$ $3,$ $4,$ $\ldots,$ entonces ¿a cuál de los siguientes números se aproxima más $P_{1991}$ ?

If $T_n=1+2+3+\cdots+n$ and $\begin{aligned} P_n&=\frac{T_2}{T_2-1} \cdot\frac{T_3}{T_3-1}\\ &\quad\cdot\frac{T_4}{T_4-1} \cdots\frac{T_n}{T_n-1} \end{aligned}$ for $n=2,$ $3,$ $4,$ $\ldots,$ then $P_{1991}$ is closest to which of the following numbers?

$2.0$

$2.3$

$2.6$

$2.9$

$3.2$

Respuesta: D

Conceptos:telescoping product número triangular approximation

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Factoriza $T_k-1$ y simplifica cada factor $\frac{T_k}{T_k-1}$

Factor $T_k-1$ and simplify each factor $\frac{T_k}{T_k-1}$

Pista grande:

Escribe cada factor como $\frac{k}{k-1}\cdot\frac{k+1}{k+2}$ y cancela telescópicamente

Write each factor as $\frac{k}{k-1}\cdot\frac{k+1}{k+2}$ and telescope

Solución:

Como $T_k=\frac{k(k+1)}{2}$ y $T_k-1=\frac{(k-1)(k+2)}{2},$ $\frac{T_k}{T_k-1} =\frac{k}{k-1}\cdot\frac{k+1}{k+2}.$ El producto se cancela telescópicamente: $\begin{aligned} P_n &=\left(\prod_{k=2}^n\frac{k}{k-1}\right) \left(\prod_{k=2}^n\frac{k+1}{k+2}\right)\\ &=n\cdot\frac3{n+2}\\ &=\frac{3n}{n+2}. \end{aligned}$ Para $n=1991,$ esto es un poco menor que $3$ y se aproxima más a $2.9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $T_k=\frac{k(k+1)}{2}$ and $T_k-1=\frac{(k-1)(k+2)}{2},$ $\frac{T_k}{T_k-1} =\frac{k}{k-1}\cdot\frac{k+1}{k+2}.$ The product telescopes: $\begin{aligned} P_n &=\left(\prod_{k=2}^n\frac{k}{k-1}\right) \left(\prod_{k=2}^n\frac{k+1}{k+2}\right)\\ &=n\cdot\frac3{n+2}\\ &=\frac{3n}{n+2}. \end{aligned}$ For $n=1991,$ this is just under $3$ and is closest to $2.9.$

Thus the correct answer is D.

26.

Un entero positivo de $n$ cifras es bonito si sus $n$ cifras son una permutación del conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$ y sus primeras $k$ cifras forman un entero divisible entre $k,$ para $k=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n.$ Por ejemplo, $321$ es un entero bonito de $3$ cifras porque $1$ divide a $3,$ $2$ divide a $32,$ y $3$ divide a $321.$ ¿Cuántos enteros bonitos de $6$ cifras hay?

An $n$ -digit positive integer is cute if its $n$ digits are an arrangement of the set $\{1,2,\ldots,n\}$ and its first $k$ digits form an integer that is divisible by $k,$ for $k=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n.$ For example, $321$ is a cute $3$ -digit integer because $1$ divides $3,$ $2$ divides $32,$ and $3$ divides $321.$ How many cute $6$ -digit integers are there?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: C

Conceptos:divisibilidad permutaciones case analysis

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

La segunda cifra debe ser par, la suma de las tres primeras debe ser divisible entre $3,$ y el prefijo de cuatro cifras debe ser divisible entre $4$

The second digit must be even, the third-prefix digit sum must be divisible by $3,$ and the fourth prefix must be divisible by $4$

Pista grande:

La quinta cifra debe ser $5,$ y el número completo debe ser par y divisible entre $3$

The fifth digit must be $5,$ and the full number must be even and divisible by $3$

Solución:

La divisibilidad entre $5$ obliga a que la quinta cifra sea $5.$ La divisibilidad entre $2$ y $6$ obliga a que la segunda y la sexta cifra sean pares. Aplica ahora sucesivamente las pruebas de divisibilidad: la suma de las primeras tres cifras debe ser divisible entre $3,$ y el número de dos cifras formado por la tercera y la cuarta debe ser divisible entre $4.$ Al revisar las opciones restantes de $\{1,2,3,4,6\}$ , quedan $123654$ y $321654.$ Cada número satisface directamente las seis condiciones de divisibilidad de prefijos, así que hay $2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Divisibility by $5$ forces the fifth digit to be $5.$ Divisibility by $2$ and $6$ forces the second and sixth digits to be even. Now apply the divisibility tests successively: the first three digits must have sum divisible by $3,$ and the two-digit number formed by the third and fourth digits must be divisible by $4.$ Checking the remaining choices from $\{1,2,3,4,6\}$ leaves $123654$ and $321654.$ Each number directly satisfies all six prefix divisibility conditions, so there are $2.$

Thus the correct answer is C.

27.

Si $\begin{aligned} x+\sqrt{x^2-1} &+\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}\\ &=20, \end{aligned}$ entonces $\begin{aligned} x^2+\sqrt{x^4-1} &+\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}\\ &= \end{aligned}$

If $\begin{aligned} x+\sqrt{x^2-1} &+\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}\\ &=20, \end{aligned}$ then $\begin{aligned} x^2+\sqrt{x^4-1} &+\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}\\ &= \end{aligned}$

$5.05$

$20$

$51.005$

$61.25$

$400$

Respuesta: C

Conceptos:conjugate radicals reciprocal algebraic identity

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Racionaliza $\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}$

Rationalize $\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}$

Pista grande:

Los últimos dos términos de la expresión solicitada son conjugados

The last two terms of the requested expression are conjugates

Solución:

Como $\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}=x+\sqrt{x^2-1},$ la ecuación dada implica $x+\sqrt{x^2-1}=10.$ Su recíproco es $x-\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{10},$ por lo que al sumar obtenemos $2x=10.1$ y $x=5.05.$ Además, $\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}=x^2-\sqrt{x^4-1}.$ Por lo tanto, la expresión solicitada es $2x^2=2(5.05)^2=51.005.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because $\frac1{x-\sqrt{x^2-1}}=x+\sqrt{x^2-1},$ the given equation implies $x+\sqrt{x^2-1}=10.$ Its reciprocal is $x-\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{10},$ so adding yields $2x=10.1$ and $x=5.05.$ Also $\frac1{x^2+\sqrt{x^4-1}}=x^2-\sqrt{x^4-1}.$ Therefore the requested expression is $2x^2=2(5.05)^2=51.005.$

Thus the correct answer is C.

28.

Inicialmente, una urna contiene $100$ canicas negras y $100$ canicas blancas. Repetidamente se sacan tres canicas de la urna y se reemplazan con canicas de una reserva exterior como sigue:

Canicas retiradas	Se reemplazan por
$3$ negras	$1$ negra
$2$ negras, $1$ blanca	$1$ negra, $1$ blanca
$1$ negra, $2$ blancas	$2$ blancas
$3$ blancas	$1$ negra, $1$ blanca

¿Cuál de los siguientes conjuntos de canicas podría ser el contenido de la urna después de aplicar repetidamente este procedimiento?

Initially an urn contains $100$ black marbles and $100$ white marbles. Repeatedly, three marbles are removed from the urn and replaced from a pile outside the urn as follows:

Marbles removed	Replaced with
$3$ black	$1$ black
$2$ black, $1$ white	$1$ black, $1$ white
$1$ black, $2$ white	$2$ white
$3$ white	$1$ black, $1$ white

Which of the following sets of marbles could be the contents of the urn after repeated applications of this procedure?

$2$ canicas negras

$2$ black marbles

$2$ canicas blancas

$2$ white marbles

$1$ canica negra

$1$ black marble

$1$ canica negra y $1$ canica blanca

$1$ black and $1$ white marble

$1$ canica blanca

$1$ white marble

Respuesta: B

Conceptos:invariante constructive process paridad

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

El número de canicas blancas siempre cambia en $0$ o $2$

The number of white marbles always changes by $0$ or $2$

Pista grande:

Cuando una operación deje por primera vez a lo sumo dos canicas, examina los posibles resultados de esa última operación

When an operation first leaves at most two marbles, inspect the possible outputs of that final operation

Solución:

La paridad del número de canicas blancas nunca cambia, así que las opciones con una canica blanca son imposibles. Además, una operación final que comienza con tres canicas puede dejar $1$ negra, $1$ negra y $1$ blanca, o $2$ blancas, pero nunca $2$ negras. El estado con $2$ blancas es alcanzable: reemplaza repetidamente $3$ negras por $1$ negra hasta que queden $2$ negras; usa dos veces la regla de $1$ negra y $2$ blancas, con lo que quedan $100$ blancas; luego alterna la regla de $3$ blancas con la de $1$ negra y $2$ blancas, reduciendo el número de blancas en $2$ por cada par de operaciones hasta que queden $2$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The parity of the number of white marbles never changes, so choices with one white marble are impossible. Also a final operation starting with three marbles can leave $1$ black, $1$ black and $1$ white, or $2$ white, but never $2$ black. The state with $2$ white is attainable: repeatedly replace $3$ black by $1$ black until $2$ black remain; twice use the $1$ -black- $2$ -white rule, leaving $100$ white; then alternate the $3$ -white rule with the $1$ -black- $2$ -white rule, reducing the number of white marbles by $2$ per pair until $2$ remain.

Thus the correct answer is B.

29.

El triángulo equilátero $ABC$ se ha plegado de modo que el vértice $A$ ahora queda sobre $A'$ en $BC$ , como se muestra. Si $BA'=1$ y $A'C=2,$ entonces la longitud del pliegue $PQ$ es

Equilateral triangle $ABC$ has been creased and folded so that vertex $A$ now rests at $A'$ on $BC$ as shown. If $BA'=1$ and $A'C=2,$ then the length of crease $PQ$ is

$\frac85$

$\frac7{20}\sqrt{21}$

$\frac{1+\sqrt5}{2}$

$\frac{13}{8}$

$\sqrt3$

Respuesta: B

Conceptos:folding mediatriz geometría analítica distance

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

Un pliegue es la mediatriz del segmento que une un punto con su imagen

A fold crease is the perpendicular bisector of the segment joining a point to its image

Pista grande:

Coloca $B=(0,0),$ $C=(3,0),$ $A=(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt3}{2}),$ y $A'=(1,0)$

Place $B=(0,0),$ $C=(3,0),$ $A=(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt3}{2}),$ and $A'=(1,0)$

Solución:

Con las coordenadas de la pista, la condición de mediatriz para $X=(x,y)$ es $|X-A|=|X-A'|,$ que se simplifica a $x+3\sqrt3\,y=8.$ La intersección de esta recta con $AB,\ y=\sqrt3x,$ da $P=(\frac{4}{5},\frac{4\sqrt3}{5}).$ Su intersección con $AC,\ y=\sqrt3(3-x),$ da $Q=(\frac{19}{8},\frac{5\sqrt3}{8}).$ Por tanto, $\begin{aligned} PQ &=\sqrt{\left(\frac{63}{40}\right)^2 +\left(\frac{7\sqrt3}{40}\right)^2}\\ &=\frac7{20}\sqrt{21}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

With the coordinates in the hint, the perpendicular-bisector condition for $X=(x,y)$ is $|X-A|=|X-A'|,$ which simplifies to $x+3\sqrt3\,y=8.$ Intersecting this line with $AB,\ y=\sqrt3x,$ gives $P=(\frac{4}{5},\frac{4\sqrt3}{5}).$ Intersecting it with $AC,\ y=\sqrt3(3-x),$ gives $Q=(\frac{19}{8},\frac{5\sqrt3}{8}).$ Hence $\begin{aligned} PQ &=\sqrt{\left(\frac{63}{40}\right)^2 +\left(\frac{7\sqrt3}{40}\right)^2}\\ &=\frac7{20}\sqrt{21}. \end{aligned}$

Thus the correct answer is B.

30.

Para cualquier conjunto $S,$ sea $|S|$ el número de elementos de $S,$ y sea $n(S)$ el número de subconjuntos de $S,$ incluidos el conjunto vacío y el propio $S$ . Si $A,$ $B,$ y $C$ son conjuntos para los cuales $\begin{gathered} n(A)+n(B)+n(C)\\ {}=n(A\cup B\cup C),\\ |A|=|B|=100, \end{gathered}$ entonces ¿cuál es el menor valor posible de $|A\cap B\cap C|$ ?

For any set $S,$ let $|S|$ denote the number of elements in $S,$ and let $n(S)$ be the number of subsets of $S,$ including the empty set and the set $S$ itself. If $A,$ $B,$ and $C$ are sets for which $\begin{gathered} n(A)+n(B)+n(C)\\ {}=n(A\cup B\cup C),\\ |A|=|B|=100, \end{gathered}$ then what is the minimum possible value of $|A\cap B\cap C|?$

$96$

$97$

$98$

$99$

$100$

Respuesta: B

Conceptos:set cardinality subconjuntos powers of two extremal counting

Nivel de dificultad: 2430

Pista pequeña:

Usa $n(S)=2^{|S|}$ y determina $|C|$ y $|A\cup B\cup C|$

Use $n(S)=2^{|S|}$ and determine $|C|$ and $|A\cup B\cup C|$

Pista grande:

Dentro de la unión, cuenta cuántos elementos pueden omitir $A,$ $B,$ y $C$

Within the union, count how many elements each of $A,$ $B,$ and $C$ can omit

Solución:

Sean $c=|C|$ y $u=|A\cup B\cup C|.$ Como $n(S)=2^{|S|},$ la ecuación se convierte en $2^{101}+2^c=2^u.$ Los dos sumandos deben ser iguales, de modo que $c=101$ y $u=102.$ Dentro de la unión, $A,$ $B,$ y $C$ omiten $2,$ $2,$ y $1$ elementos. Así, como máximo cinco elementos distintos faltan de la intersección triple, lo que da $|A\cap B\cap C|\ge97.$ La igualdad se alcanza haciendo distintas esas omisiones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $c=|C|$ and $u=|A\cup B\cup C|.$ Since $n(S)=2^{|S|},$ the equation becomes $2^{101}+2^c=2^u.$ The two summands must be equal, so $c=101$ and $u=102.$ Within the union, $A,$ $B,$ and $C$ omit $2,$ $2,$ and $1$ elements. Thus at most five distinct elements are absent from the triple intersection, giving $|A\cap B\cap C|\ge97.$ Equality is attained by making those omissions distinct.

Thus the correct answer is B.

Problemas del 1991 AMC 12

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Pista grande: