Question

Un entero positivo $N$ es un palíndromo si el entero obtenido al invertir la sucesión de cifras de $N$ es igual a $N.$ El año $1991$ es el único del siglo actual que tiene las dos propiedades siguientes:

(a) Es un palíndromo.

(b) Se factoriza como el producto de un palíndromo primo de $2$ cifras y un palíndromo primo de $3$ cifras.

¿Cuántos años del milenio entre $1000$ y $2000$ , incluido $1991$ , tienen las propiedades (a) y (b)?

A positive integer $N$ is a palindrome if the integer obtained by reversing the sequence of digits of $N$ is equal to $N.$ The year $1991$ is the only year in the current century with the following two properties:

(a) It is a palindrome.

(b) It factors as a product of a $2$ -digit prime palindrome and a $3$ -digit prime palindrome.

How many years in the millennium between $1000$ and $2000$ (including the year $1991$ ) have properties (a) and (b)?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: D

Conceptos:palíndromo factorización en primos divisibilidad

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Todo palíndromo de cuatro cifras entre $1000$ y $2000$ tiene la forma $1dd1$

Every four-digit palindrome from $1000$ to $2000$ has the form $1dd1$

Pista grande:

Factoriza $1dd1$ como $11(91+10d)$ y prueba cuándo el factor de tres cifras es primo

Factor $1dd1$ as $11(91+10d)$ and test when the three-digit factor is prime

Solución:

Los palíndromos del intervalo son $1dd1,$ donde $d$ es una cifra. Algebraicamente, $\begin{aligned} 1dd1&=1001+110d\\ &=11(91+10d). \end{aligned}$ Por lo tanto, el palíndromo primo de dos cifras debe ser $11,$ y $91+10d$ debe ser un palíndromo primo de tres cifras. Para $d=0,1,\ldots,9,$ los valores primos ocurren cuando $d=1,4,6,9,$ y dan $101,131,151,181.$ Por consiguiente, hay $4$ años.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The palindromes in the interval are $1dd1,$ where $d$ is a digit. Algebraically, $\begin{aligned} 1dd1&=1001+110d\\ &=11(91+10d). \end{aligned}$ The two-digit prime palindrome must therefore be $11,$ and $91+10d$ must be a three-digit prime palindrome. For $d=0,1,\ldots,9,$ the prime values occur for $d=1,4,6,9,$ giving $101,131,151,181.$ Thus there are $4$ years.

Thus the correct answer is D.

1991 AMC 12 Problema 17

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años