Question

若把正整数 $N$ 的数字顺序倒转后所得整数仍等于 $N$ ，则称 $N$ 为回文数。本世纪只有 $1991$ 年同时具有以下两个性质：

(a) 它是回文数。

(b) 它可以分解为一个 $2$ 位回文质数与一个 $3$ 位回文质数的乘积。

从 $1000$ 年到 $2000$ 年的这一千年间（包括 $1991$ 年），共有多少个年份具有性质 (a) 和 (b)？

A positive integer $N$ is a palindrome if the integer obtained by reversing the sequence of digits of $N$ is equal to $N.$ The year $1991$ is the only year in the current century with the following two properties:

(a) It is a palindrome.

(b) It factors as a product of a $2$ -digit prime palindrome and a $3$ -digit prime palindrome.

How many years in the millennium between $1000$ and $2000$ (including the year $1991$ ) have properties (a) and (b)?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：D

知识点：回文数质因数分解整除性

难度评级：1880

小提示：

从 $1000$ 到 $2000$ 的每个四位回文数都形如 $1dd1$

Every four-digit palindrome from $1000$ to $2000$ has the form $1dd1$

大提示：

把 $1dd1$ 分解为 $11(91+10d)$ ，再检验三位因数何时为质数

Factor $1dd1$ as $11(91+10d)$ and test when the three-digit factor is prime

解答：

区间内的回文数形如 $1dd1$ ，其中 $d$ 是一个数字。代数上， $\begin{aligned} 1dd1&=1001+110d\\ &=11(91+10d) \end{aligned}\text{。}$ 因此，两位回文质数只能是 $11$ ，且 $91+10d$ 必须是一个三位回文质数。当 $d=0,1,\ldots,9$ 时， $d=1,4,6,9$ 给出质数 $101,131,151,181$ 。所以共有 $4$ 个年份。

因此正确答案为 D。

The palindromes in the interval are $1dd1,$ where $d$ is a digit. Algebraically, $\begin{aligned} 1dd1&=1001+110d\\ &=11(91+10d). \end{aligned}$ The two-digit prime palindrome must therefore be $11,$ and $91+10d$ must be a three-digit prime palindrome. For $d=0,1,\ldots,9,$ the prime values occur for $d=1,4,6,9,$ giving $101,131,151,181.$ Thus there are $4$ years.

Thus the correct answer is D.

1991 AMC 12 第 17 题

答案：D

难度评级：1880

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题