Question

若 $k$ 为正数，且函数 $f$ 满足：对于每个正数 $x$ ， $\left[f(x^2+1)\right]^{\sqrt x}=k\text{，}$ 那么对于每个正数 $y$ ， $\left[f\left(\frac{9+y^2}{y^2}\right)\right]^{\sqrt{\frac{12}{y}}}$ 等于

If $k$ is a positive number and $f$ is a function such that, for every positive number $x,$ $\left[f(x^2+1)\right]^{\sqrt x}=k,$ then, for every positive number $y,$ $\left[f\left(\frac{9+y^2}{y^2}\right)\right]^{\sqrt{\frac{12}{y}}}$ is equal to

$\sqrt k$

$2k$

$k\sqrt k$

$k^2$

$y\sqrt k$

答案：D

知识点：函数方程换元法指数

难度评级：2040

小提示：

选取 $x$ ，使 $x^2+1=\frac{9+y^2}{y^2}$

Choose $x$ so that $x^2+1=\frac{9+y^2}{y^2}$

大提示：

代入后比较 $\sqrt{\frac{12}{y}}$ 与 $\sqrt x$

Compare $\sqrt{\frac{12}{y}}$ with $\sqrt x$ after making the substitution

解答：

令 $x=\frac{3}{y}$ ，它是正数。于是 $\begin{aligned} x^2+1&=\frac{9+y^2}{y^2},\\ \sqrt{\frac{12}{y}}&=2\sqrt x\text{。} \end{aligned}$ 因此所求表达式为 $\left(\left[f(x^2+1)\right]^{\sqrt x}\right)^2=k^2\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Set $x=\frac{3}{y},$ which is positive. Then $\begin{aligned} x^2+1&=\frac{9+y^2}{y^2},\\ \sqrt{\frac{12}{y}}&=2\sqrt x. \end{aligned}$ Therefore the requested expression is $\left(\left[f(x^2+1)\right]^{\sqrt x}\right)^2=k^2.$

Therefore, the correct answer is D.

1978 AMC 12 第 17 题

答案：D

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题