Question

在一根绳子上随机选一点将其剪成两段。较长的一段至少是较短一段的 $x$ 倍的概率为：

A piece of string is cut in two at a point selected at random. The probability that the longer piece is at least $x$ times as large as the shorter piece is:

$\dfrac12$

$\dfrac2x$

$\dfrac1{x+1}$

$\dfrac1x$

$\dfrac2{x+1}$

答案：E

知识点：几何概率比与比例不等式

难度评级：1740

小提示：

将绳长归一化为 $1$ ，并设剪切点距某一端为 $t$

Normalize the string length to $1$ and let the cut be $t$ units from one end

大提示：

对靠近任一端的区间，求解 $1-t\ge xt$

Near either endpoint, solve $1-t\ge xt$

解答：

令绳长为 $1$ 。在靠近一端的区间内，条件为 $1-t\ge xt\text{，}$ 所以 $t\le\frac{1}{x+1}$ 。另一端也有同样长度的区间。两区间总长度即所求概率，为 $\frac2{x+1}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Take the string to have length $1.$ Near one endpoint, the condition is $1-t\ge xt,$ so $t\le\frac{1}{x+1}.$ The same interval occurs at the other endpoint. Their total length, hence the probability, is $\frac2{x+1}.$

Therefore, the correct answer is E.

1972 AMC 12 第 17 题

答案：E

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题