Question

右图在复平面上标出了若干个数。图中的圆是以原点为圆心的单位圆。其中一个数是 $F$ 的倒数。它是哪一个？

The diagram to the right shows several numbers in the complex plane. The circle is the unit circle centered at the origin. One of these numbers is the reciprocal of $F.$ Which one?

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

答案：C

知识点：复数坐标几何变换

难度评级：1900

小提示：

若 $z=re^{i\theta}$ ，则其倒数的模为 $\frac{1}{r}$

For $z=re^{i\theta},$ its reciprocal has modulus $\frac{1}{r}$

大提示：

取倒数会把辐角关于实轴反射，并将点移到单位圆内部

The reciprocal reflects the argument across the real axis and moves inside the unit circle

解答：

若 $F=re^{i\theta}$ ，则 $\frac{1}{F}=r^{-1}e^{-i\theta}$ 。由于 $F$ 位于第一象限且在单位圆外，其倒数位于第四象限的单位圆内，辐角与原来关于实轴对称。只有点 $C$ 具有这些性质。

所以正确答案是 C。

If $F=re^{i\theta},$ then $\frac{1}{F}=r^{-1}e^{-i\theta}.$ Because $F$ is outside the unit circle in quadrant I, its reciprocal is inside the unit circle in quadrant IV, with the reflected argument. Only point $C$ has those properties.

Therefore, the correct answer is C.

1983 AMC 12 第 17 题

答案：C

难度评级：1900

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题