Question

有一对特殊的骰子，每个骰子掷出 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ 和 $6$ 的概率之比为 $1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6$ 。掷这两个骰子，总和为 $7$ 的概率是多少？

For a particular peculiar pair of dice, the probabilities of rolling $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ and $6$ on each die are in the ratio $1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6.$ What is the probability of rolling a total of $7$ on the two dice?

$\dfrac{4}{63}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{8}{63}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{2}{7}$

答案：C

知识点：骰子（概率）基本概率

难度评级：1740

小提示：

掷出 $k$ 的概率是 $\dfrac{k}{1+2+\cdots+6} = \dfrac{k}{21}$

The probability of rolling $k$ is $\dfrac{k}{1+2+\cdots+6} = \dfrac{k}{21}$

大提示：

对总和为 $7$ 的各对数，求和 $\dfrac{k}{21} \cdot \dfrac{7-k}{21}$

Sum $\dfrac{k}{21} \cdot \dfrac{7-k}{21}$ over the pairs that total $7$

解答：

因为权重之和为 $21$ ，掷出 $k$ 的概率为 $\dfrac{k}{21}$ 。

总和为 $7$ 来自 $(1,6), (2,5), \ldots, (6,1)$ ，所以概率为 $\begin{aligned} &\scriptsize \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1}{21^2} \\ &= \frac{56}{441} = \frac{8}{63} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Since the weights sum to $21,$ the probability of rolling $k$ is $\dfrac{k}{21}.$

A total of $7$ comes from $(1,6), (2,5), \ldots, (6,1),$ so the probability is $\begin{aligned} &\scriptsize \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1}{21^2} \\ &= \frac{56}{441} = \frac{8}{63}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 12B 第 17 题

答案：C

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

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