LIVE by Po-Shen Loh标识

LIVE

中文

2012 AMC 12B 第 17 题

先试着解答 2012 AMC 12B 第 17 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2012 AMC 12B 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

17.

正方形 PQRSPQRS 位于第一象限。点 (3,0)(3, 0)，(5,0)(5, 0)，(7,0)(7, 0)，和 (13,0)(13, 0) 分别在线 SPSP，RQRQ，PQPQ，和 SRSR 上。正方形 PQRSPQRS 的中心坐标之和是多少？

Square PQRSPQRS lies in the first quadrant. Points (3,0),(3, 0), (5,0),(5, 0), (7,0),(7, 0), and (13,0)(13, 0) lie on lines SP,SP, RQ,RQ, PQ,PQ, and SR,SR, respectively. What is the sum of the coordinates of the center of the square PQRS?PQRS?

66

6.26.2

6.46.4

6.66.6

6.86.8

答案：C
知识点：坐标几何斜率方程组
难度评级：1910
小提示：

设 θ\theta 为直线 PQPQ 与 xx-轴所成的角；正方形条件会联系给定线段的投影

Let θ\theta be the angle line PQPQ makes with the xx-axis; the square condition relates the projections of the given segments

大提示：

由 2cos⁡θ=6sin⁡θ2\cos\theta=6\sin\theta 得 tan⁡θ=13\tan\theta=\tfrac13，再求过中点 (4,0)(4,0) 与 (10,0)(10,0) 的两条直线的交点

From 2cos⁡θ=6sin⁡θ2\cos\theta=6\sin\theta get tan⁡θ=13,\tan\theta=\tfrac13, then intersect the two lines through the midpoints (4,0)(4,0) and (10,0)(10,0)

解答：

设 θ\theta 为直线 PQPQ 与 xx-轴所成的锐角。边 SR=PQSR=PQ 在从 (3,0)(3,0) 到 (5,0)(5,0) 的线段上投影为 2cos⁡θ2\cos\theta，而边 SP=QRSP=QR 在从 (7,0)(7,0) 到 (13,0)(13,0) 的线段上投影为 6sin⁡θ6\sin\theta。

因为正方形的边长相等，2cos⁡θ=6sin⁡θ2\cos\theta=6\sin\theta， 所以 tan⁡θ=13\tan\theta=\tfrac13。 因此直线 SP,RQSP,RQ 的斜率为 33，直线 SR,PQSR,PQ 的斜率为 −13-\tfrac13。

中心位于过 (4,0)(4,0) 且斜率为 33 的直线上，也位于过 (10,0)(10,0) 且斜率为 −13-\tfrac13 的直线上： y=3(x−4)，y=3(x-4)\text{，} y=−13(x−10)。y=-\tfrac13(x-10)\text{。} 两线交于 (4.6,1.8)(4.6,1.8)。

坐标之和为 4.6+1.8=6.44.6+1.8=6.4。

因此正确答案是 C。

Let θ\theta be the acute angle line PQPQ makes with the xx-axis. Sides SR=PQSR=PQ span the segment from (3,0)(3,0) to (5,0)(5,0) as 2cos⁡θ,2\cos\theta, while SP=QRSP=QR span the segment from (7,0)(7,0) to (13,0)(13,0) as 6sin⁡θ.6\sin\theta.

Since the square has equal sides, 2cos⁡θ=6sin⁡θ,2\cos\theta=6\sin\theta, so tan⁡θ=13.\tan\theta=\tfrac13. Thus lines SP,RQSP,RQ have slope 33 and lines SR,PQSR,PQ have slope −13.-\tfrac13.

The center lies on the line through (4,0)(4,0) with slope 33 and the line through (10,0)(10,0) with slope −13:-\tfrac13: y=3(x−4),y=3(x-4), y=−13(x−10).y=-\tfrac13(x-10). These meet at (4.6,1.8).(4.6,1.8).

The sum of the coordinates is 4.6+1.8=6.4.4.6+1.8=6.4.

Thus, the correct answer is C.

第 16 题#16
完整试卷
第 18 题#18

其他年份的第 17 题

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B