Question

半径为 $1$ ， $2$ ，和 $3$ 的三个圆两两外切。由这些切点确定的三角形面积是多少？

Circles with radii $1,$ $2,$ and $3$ are mutually externally tangent. What is the area of the triangle determined by the points of tangency?

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{4}{5}$

$1$

$\dfrac{6}{5}$

$\dfrac{4}{3}$

答案：D

知识点：相切圆坐标几何鞋带公式

难度评级：1920

小提示：

圆心形成一个边长为 $1+2$ ， $2+3$ ， $1+3$ ，即 $3$ - $4$ - $5$ 的直角三角形

The centers form a triangle with sides $1+2,$ $2+3,$ $1+3,$ i.e. a $3$ - $4$ - $5$ right triangle

大提示：

把直角放在半径为 $1$ 的圆心处，并在连接圆心的线段上定位各个切点

Put the right angle at the center of the radius- $1$ circle and locate each tangency point on the connecting segment

解答：

圆心之间的距离等于半径和： $3$ ， $4$ ，和 $5$ ，形成一个直角三角形，直角在半径为 $1$ 的圆心处。把该圆心放在 $(0,0)$ ，半径为 $2$ 的圆心放在 $(3,0)$ ，半径为 $3$ 的圆心放在 $(0,4)$ 。

切点在线段上，距离等于相应半径： $(1, 0)$ ， $(0, 1)$ ，以及斜边上的 $(3,0) + 2 \cdot \tfrac{(-3,4)}{5} = \left(\tfrac95, \tfrac85\right)$ 。

由鞋带公式，面积为 $\begin{gathered} \tfrac12\left| 1\left(1 - \tfrac85\right) + 0 + \tfrac95(0 - 1) \right| \\ = \tfrac12 \cdot \tfrac{12}{5} = \tfrac65 \end{gathered}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

The centers are separated by the sums of radii: $3,$ $4,$ and $5,$ a right triangle with the right angle at the radius- $1$ center. Place that center at $(0,0),$ the radius- $2$ center at $(3,0),$ and the radius- $3$ center at $(0,4).$

The tangency points lie on the segments at distances equal to the radii: $(1, 0),$ $(0, 1),$ and on the hypotenuse at $(3,0) + 2 \cdot \tfrac{(-3,4)}{5} = \left(\tfrac95, \tfrac85\right).$

By the shoelace formula the area is $\begin{gathered} \tfrac12\left| 1\left(1 - \tfrac85\right) + 0 + \tfrac95(0 - 1) \right| \\ = \tfrac12 \cdot \tfrac{12}{5} = \tfrac65. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12A 第 17 题

答案：D

难度评级：1920

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题