Question

假设 $|x + y| + |x - y| = 2$ 。 $x^2 - 6x + y^2$ 的最大可能值是多少？

Suppose that $|x + y| + |x - y| = 2.$ What is the maximum possible value of $x^2 - 6x + y^2?$

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答案：D

知识点：绝对值最优化正方形（几何）

难度评级：1840

小提示：

方程 $|x+y| + |x-y| = 2$ 表示 $\max(|x|, |y|) = 1$ ，即正方形 $[-1,1]^2$ 的边界

The equation $|x+y| + |x-y| = 2$ means $\max(|x|, |y|) = 1,$ the boundary of the square $[-1,1]^2$

大提示：

在该正方形上，当 $x = -1$ 且 $y = \pm 1$ 时， $x^2 - 6x + y^2$ 最大

On that square, $x^2 - 6x + y^2$ is largest when $x = -1$ and $y = \pm 1$

解答：

恒等式 $|x+y| + |x-y|$ $= 2\max(|x|, |y|)$ 将条件变成 $\max(|x|, |y|) = 1$ ，即满足 $|x| \le 1$ 且 $|y| \le 1$ 的正方形边界。

在这个区域上， $x^2 - 6x + y^2$ 会随着 $x$ 变小以及 $y^2$ 变大而增大，所以最大值在 $x = -1$ 、 $y = \pm 1$ 处取得： $1 + 6 + 1 = 8\text{。}$

因此，正确答案是 D。

The identity $|x+y| + |x-y|$ $= 2\max(|x|, |y|)$ turns the condition into $\max(|x|, |y|) = 1,$ the boundary of the square with $|x| \le 1$ and $|y| \le 1.$

On this region $x^2 - 6x + y^2$ increases as $x$ decreases and as $y^2$ increases, so the maximum is at $x = -1,$ $y = \pm 1:$ $1 + 6 + 1 = 8.$

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12A 第 18 题

答案：D

难度评级：1840

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题