Question

边长为 $5$ ， $6$ 和 $7$ 的三角形 $ABC$ 有一个顶点在正 $x$ -轴上，一个顶点在正 $y$ -轴上，一个顶点在正 $z$ -轴上。设 $O$ 为原点。四面体 $OABC$ 的体积是多少？

Triangle $ABC,$ with sides of length $5,$ $6,$ and $7,$ has one vertex on the positive $x$ -axis, one on the positive $y$ -axis, and one on the positive $z$ -axis. Let $O$ be the origin. What is the volume of tetrahedron $OABC?$

$\sqrt{85}$

$\sqrt{90}$

$\sqrt{95}$

$10$

$\sqrt{105}$

答案：C

知识点：立体几何方程组体积

难度评级：1910

小提示：

令三个顶点为 $(a, 0, 0)$ 、 $(0, b, 0)$ 、 $(0, 0, c)$ ，写出三个边长方程。

Let the vertices be $(a, 0, 0),$ $(0, b, 0),$ $(0, 0, c)$ and write the three side-length equations

大提示：

三个方程相加得到 $a^2 + b^2 + c^2$ ，而体积为 $\tfrac{1}{6}abc$ 。

Adding the three equations gives $a^2 + b^2 + c^2,$ and the volume is $\tfrac{1}{6}abc$

解答：

设 $A = (a, 0, 0)$ 、 $B = (0, b, 0)$ 、 $C = (0, 0, c)$ 。于是 $\begin{aligned} a^2 + b^2 &= 25, \\ b^2 + c^2 &= 36, \\ a^2 + c^2 &= 49 \end{aligned}\text{。}$

将三个边长方程相加得 $a^2 + b^2 + c^2 = 55$ ，所以 $a^2 = 19$ ， $b^2 = 6$ ， $c^2 = 30$ 。

体积为 $\begin{aligned} \dfrac{1}{6}abc &= \dfrac{1}{6}\sqrt{19 \cdot 6 \cdot 30} \\ &= \dfrac{1}{6}\sqrt{3420} \\ &= \sqrt{95} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 C。

Let $A = (a, 0, 0),$ $B = (0, b, 0),$ $C = (0, 0, c).$ Assigning the sides, $\begin{aligned} a^2 + b^2 &= 25, \\ b^2 + c^2 &= 36, \\ a^2 + c^2 &= 49. \end{aligned}$

Adding gives $a^2 + b^2 + c^2 = 55,$ so $a^2 = 19,$ $b^2 = 6,$ and $c^2 = 30.$

The volume is $\begin{aligned} \dfrac{1}{6}abc &= \dfrac{1}{6}\sqrt{19 \cdot 6 \cdot 30} \\ &= \dfrac{1}{6}\sqrt{3420} \\ &= \sqrt{95}. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

2008 AMC 12A 第 18 题

答案：C

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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