Question

对每个正合数 $n$ ，定义 $r(n)$ 为 $n$ 的质因数分解中各因子的和。例如， $r(50) = 12$ ，因为 $50$ 的质因数分解是 $2 \cdot 5^2$ ，且 $2 + 5 + 5 = 12$ 。函数 $r$ 的值域 $\{r(n) : n \text{ 是正合数}\}$ 是什么？

For every composite positive integer $n,$ define $r(n)$ to be the sum of the factors in the prime factorization of $n.$ For example, $r(50) = 12$ because the prime factorization of $50$ is $2 \cdot 5^2,$ and $2 + 5 + 5 = 12.$ What is the range of the function $r,$ $\{r(n) : n \text{ is a composite positive integer}\}?$

正整数集合

the set of positive integers

合数正整数集合

the set of composite positive integers

偶正整数集合

the set of even positive integers

大于 $3$ 的整数集合

the set of integers greater than $3$

大于 $4$ 的整数集合

the set of integers greater than $4$

答案：D

知识点：质因数分解函数

难度评级：1970

小提示：

最小值来自最小的合数， $4 = 2 \cdot 2$ 。

The smallest value comes from the smallest composite, $4 = 2 \cdot 2$

大提示：

说明每个大于 $3$ 的整数都能取到，例如 $r(2^k) = 2k$ 且 $r(2^k\cdot 3) = 2k + 3$

Show every integer greater than $3$ is attained, e.g. $r(2^k) = 2k$ and $r(2^k\cdot 3) = 2k + 3$

解答：

一个合数至少有两个质因子（按重数计），而最小质数是 $2$ ，所以最小可能值是 $2 + 2 = 4$ 。

每个大于 $3$ 的整数都能取到： $r(2^k) = 2k$ 覆盖所有 $\ge 4$ 的偶数值， $r(2^k\cdot 3) = 2k + 3$ 覆盖所有 $\ge 5$ 的奇数值。所以值域是大于 $3$ 的整数。

因此，正确选项是 D。

A composite number has at least two prime factors (with multiplicity), and the smallest prime is $2,$ so the least possible value is $2 + 2 = 4.$

Every integer greater than $3$ is attained: $r(2^k) = 2k$ covers the even values $\ge 4,$ and $r(2^k\cdot 3) = 2k + 3$ covers the odd values $\ge 5.$ So the range is the integers greater than $3.$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12B 第 18 题

答案：D

难度评级：1970

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题