Question

在右图的长方体中， $\angle DHG=45^\circ$ ，且 $\angle FHB=60^\circ$ 。求 $\angle BHD$ 的余弦值。

In the adjoining figure of a rectangular solid, $\angle DHG=45^\circ$ and $\angle FHB=60^\circ.$ Find the cosine of $\angle BHD.$

$\frac{\sqrt3}{6}$

$\frac{\sqrt2}{6}$

$\frac{\sqrt6}{3}$

$\frac{\sqrt6}{4}$

$\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$

答案：D

知识点：长方体向量立体几何三角学

难度评级：2230

小提示：

以 $H$ 为原点，沿三条两两垂直的棱建立坐标系

Assign coordinates at $H$ along the three mutually perpendicular edges

大提示：

将两个已知角转化为三条棱长之间的关系，再使用点积

Translate the two given angles into relationships among the three edge lengths, then use a dot product

解答：

令 $H=(0,0,0)$ 、 $F=(u,0,0)$ 、 $G=(0,v,0)$ ，且 $C=(0,0,w)$ 。则 $B=(u,0,w)$ ，且 $D=(0,v,w)$ 。由 $60^\circ$ 的条件得 $w=\sqrt3u$ ，而由 $45^\circ$ 的条件得 $v=w$ 。因此 $\begin{aligned} \cos\angle BHD &=\frac{w^2} {\sqrt{u^2+w^2}\sqrt{2w^2}}\\ &=\frac{\sqrt6}{4} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案为 D。

Let $H=(0,0,0),$ $F=(u,0,0),$ $G=(0,v,0),$ and $C=(0,0,w).$ Then $B=(u,0,w)$ and $D=(0,v,w).$ The $60^\circ$ condition gives $w=\sqrt3u,$ while the $45^\circ$ condition gives $v=w.$ Hence $\begin{aligned} \cos\angle BHD &=\frac{w^2} {\sqrt{u^2+w^2}\sqrt{2w^2}}\\ &=\frac{\sqrt6}{4}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

1982 AMC 12 第 18 题

答案：D

难度评级：2230

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题