Question

要将表达式 $21x^2+ax+21$ 分解为两个系数为整数的线性不可约二项式之积。当 $a$ 是下列哪一项时，可以完成这种分解？

The expression $21x^2+ax+21$ is to be factored into two linear prime binomial factors with integer coefficients. This can be done if $a$ is:

任意奇数

Any odd number

某些奇数

Some odd number

任意偶数

Any even number

某些偶数

Some even number

零

Zero

答案：D

知识点：因式分解奇偶性

难度评级：1450

小提示：

将两个因式写成 $(Ax+B)(Cx+D)$

Write the factors as $(Ax+B)(Cx+D)$

大提示：

因为 $AC=BD=21$ ，所以这四个整数因数都是奇数

Because $AC=BD=21,$ all four integer factors are odd

解答：

设 $\begin{aligned} &21x^2+ax+21\\ &\quad=(Ax+B)(Cx+D) \end{aligned}\text{。}$ 则 $AC=BD=21$ ，所以 $A,B,C,D$ 均为奇数。因此， $a=AD+BC$ 为偶数。某些偶数确实可行；例如， $\begin{aligned} &(3x+7)(7x+3)\\ &\quad=21x^2+58x+21 \end{aligned}\text{。}$ 但并非每个偶数都可行。

因此，正确答案是 D。

Suppose $\begin{aligned} &21x^2+ax+21\\ &\quad=(Ax+B)(Cx+D). \end{aligned}$ Then $AC=BD=21,$ so $A,B,C,D$ are odd. Therefore $a=AD+BC$ is even. Some even values work; for example, $\begin{aligned} &(3x+7)(7x+3)\\ &\quad=21x^2+58x+21. \end{aligned}$ Not every even value works.

Thus, the correct answer is D.

1951 AMC 12 第 18 题

答案：D

难度评级：1450

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题