Question

使 $x+\sqrt{x^2+1}-\frac1{x+\sqrt{x^2+1}}$ 为有理数的所有实数 $x$ 的集合，是所有下列哪一类数的集合？

The set of all real numbers $x$ for which $x+\sqrt{x^2+1}-\frac1{x+\sqrt{x^2+1}}$ is a rational number is the set of all

整数 $x$

integers $x$

有理数 $x$

rational $x$

实数 $x$

real $x$

满足下列条件的 $x$ ： $\sqrt{x^2+1}$ 为有理数

$x$ for which $\sqrt{x^2+1}$ is rational

满足下列条件的 $x$ ： $x+\sqrt{x^2+1}$ 为有理数

$x$ for which $x+\sqrt{x^2+1}$ is rational

将倒数项的分母有理化

Rationalize the reciprocal term

共轭式 $\sqrt{x^2+1}-x$ 正是分母的倒数

The conjugate $\sqrt{x^2+1}-x$ is the reciprocal of the denominator

分母有理化可得 $\frac1{x+\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}-x\text{。}$ 因此整个式子等于 $2x$ 。它是有理数，当且仅当 $x$ 是有理数。

所以正确答案是 B。

Rationalizing gives $\frac1{x+\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}-x.$ The entire expression is therefore $2x.$ It is rational exactly when $x$ is rational.

Thus the correct answer is B.