Question

设圆 $C_1$ 和 $C_2$ 的方程分别为 $(x - 10)^2 + y^2 = 36$ 和 $(x + 15)^2 + y^2 = 81\text{。}$ 线段 $\overline{PQ}$ 在 $P$ 点与 $C_1$ 相切，并在 $Q$ 点与 $C_2$ 相切。这样的最短线段长多少？

Let $C_1$ and $C_2$ be circles defined by $(x - 10)^2 + y^2 = 36$ and $(x + 15)^2 + y^2 = 81,$ respectively. What is the length of the shortest line segment $\overline{PQ}$ that is tangent to $C_1$ at $P$ and to $C_2$ at $Q?$

$15$

$18$

$20$

$21$

$24$

答案：C

知识点：切线相似勾股定理

难度评级：1660

小提示：

最短的这种线段是内公切线；它会在两个圆心之间与 $\overline{AB}$ 相交。

The shortest such segment is the internal tangent; it crosses $\overline{AB}$ between the centers

大提示：

交点按半径之比 $6 : 9$ 分割 $\overline{AB}$ ；再利用相似直角三角形。

The crossing point divides $\overline{AB}$ in the ratio of the radii $6 : 9;$ use similar right triangles

解答：

圆心为 $A = (10, 0)$ 和 $B = (-15, 0)$ ，半径分别为 $6$ 和 $9$ ，所以 $AB = 25$ 。最短切线是内公切线，它在点 $D$ 与 $\overline{AB}$ 相交，并按 $6 : 9$ 分割该线段，因此 $D = (0, 0)$ 。

直角三角形 $APD$ 和 $BQD$ 相似，比例为 $2 : 3$ 。因而 $PD = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ ， $QD = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12$ ，所以 $PQ = 8 + 12 = 20$ 。

因此，正确答案是 C。

The centers are $A = (10, 0)$ and $B = (-15, 0),$ with radii $6$ and $9,$ so $AB = 25.$ The shortest tangent is the internal one, meeting $\overline{AB}$ at a point $D$ that splits it in the ratio $6 : 9,$ giving $D = (0, 0).$

The right triangles $APD$ and $BQD$ are similar with ratio $2 : 3.$ Then $PD = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ and $QD = \sqrt{15^2 - 9^2} = 12,$ so $PQ = 8 + 12 = 20.$

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 12A 第 18 题

答案：C

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题