1977 AMC 12 第 18 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1977 AMC 12 第 18 题

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18.

若 $\begin{aligned} y={}&(\log_2 3)(\log_3 4)\cdots\\ &(\log_n[n+1])\cdots(\log_{31}32) \end{aligned}\text{，}$ 则

If $\begin{aligned} y={}&(\log_2 3)(\log_3 4)\cdots\\ &(\log_n[n+1])\cdots(\log_{31}32), \end{aligned}$ then

$4\lt y\lt5$

$y=5$

$5\lt y\lt6$

$y=6$

$6\lt y\lt7$

答案：B

知识点：对数裂项相消

难度评级：1860

小提示：

将每个对数都换成同一底数

Rewrite every logarithm using the same base

大提示：

乘积中相邻的分子与分母会约去

Adjacent numerators and denominators cancel in the product

解答：

由换底公式， $\begin{aligned} y&=\frac{\log 3}{\log2}\cdot \frac{\log4}{\log3}\cdots \frac{\log32}{\log31}\\ &=\frac{\log32}{\log2}\\ &=\log_2 32=5 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

By change of base, $\begin{aligned} y&=\frac{\log 3}{\log2}\cdot \frac{\log4}{\log3}\cdots \frac{\log32}{\log31}\\ &=\frac{\log32}{\log2}\\ &=\log_2 32=5. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

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