Question

从顶点为 $(0,0)$ 、 $(2,0)$ 、 $(2,1)$ 、 $(0,1)$ 的矩形区域中随机选一点 $P$ 。点 $P$ 到原点的距离比到点 $(3,1)$ 的距离更近的概率是多少？

A point $P$ is randomly selected from the rectangular region with vertices $(0,0),$ $(2,0),$ $(2,1),$ $(0,1).$ What is the probability that $P$ is closer to the origin than it is to the point $(3,1)?$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{4}{5}$

$1$

答案：C

知识点：几何概率垂直平分线梯形

难度评级：1610

小提示：

点 $P$ 更靠近原点时，它位于从 $(0,0)$ 到 $(3,1)$ 这条线段的垂直平分线的一侧。

$P$ is closer to the origin on one side of the perpendicular bisector of the segment from $(0,0)$ to $(3,1)$

大提示：

这条垂直平分线是 $3x+y=5$ ；求矩形中位于原点一侧的面积，再除以总面积。

That bisector is the line $3x+y=5$ ; find the area of the rectangle on the origin side and divide by the total area

解答：

到 $(0,0)$ 比到 $(3,1)$ 更近的点位于这两点连线垂直平分线的原点一侧，该垂直平分线为 $3x+y=5$ 。

在矩形中，这一区域是一个梯形，其平行边长分别为 $\dfrac53$ （在 $y=0$ 处）和 $\dfrac43$ （在 $y=1$ 处），面积为 $\dfrac12\left(\dfrac53+\dfrac43\right)=\dfrac32$ 。矩形面积为 $2$ ，所以概率是 $\dfrac{\frac{3}{2}}{2}=\dfrac34$ 。

所以正确答案是 C。

The points closer to $(0,0)$ than to $(3,1)$ lie on the origin side of the perpendicular bisector of that segment, the line $3x+y=5.$

Within the rectangle, this region is a trapezoid whose parallel sides have lengths $\dfrac53$ (at $y=0$ ) and $\dfrac43$ (at $y=1$ ), so its area is $\dfrac12\left(\dfrac53+\dfrac43\right)=\dfrac32.$ The rectangle has area $2,$ so the probability is $\dfrac{\frac{3}{2}}{2}=\dfrac34.$

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 12B 第 18 题

答案：C

难度评级：1610

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 18 题