1974 AMC 12 第 18 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1974 AMC 12 第 18 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

18.

若 $\log_8 3=p$ ，且 $\log_3 5=q$ ，则用 $p$ 和 $q$ 表示的 $\log_{10}5$ 等于

If $\log_8 3=p$ and $\log_3 5=q,$ then, in terms of $p$ and $q,$ $\log_{10}5$ equals

$pq$

$\frac{3p+q}{5}$

$\frac{1+3pq}{p+q}$

$\frac{3pq}{1+3pq}$

$p^2+q^2$

答案：D

知识点：对数

难度评级：1780

小提示：

将所有对数都换成以 $2$ 为底

Convert every logarithm to base $2$

大提示：

已知条件可推出 $\log_2 3=3p$ 和 $\log_2 5=3pq$

The givens imply $\log_2 3=3p$ and $\log_2 5=3pq$

解答：

由 $p=\log_8 3$ 可得 $\log_2 3=3p$ 。因此 $\log_2 5=(\log_2 3)(\log_3 5)=3pq\text{。}$ 又因为 $\log_2 10=1+\log_2 5=1+3pq$ ，所以 $\log_{10}5=\frac{\log_2 5}{\log_2 10} =\frac{3pq}{1+3pq}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

From $p=\log_8 3,$ $\log_2 3=3p.$ Therefore $\log_2 5=(\log_2 3)(\log_3 5)=3pq.$ Since $\log_2 10=1+\log_2 5=1+3pq,$ $\log_{10}5=\frac{\log_2 5}{\log_2 10} =\frac{3pq}{1+3pq}.$

Therefore, the correct answer is D.

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