1974 AMC 12 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

若 $x\ne0$ ，也不等于 $4$ ，且 $y\ne0$ ，也不等于 $6$ ，则 $\frac2x+\frac3y=\frac12$ 等价于

If $x\ne0$ or $4$ and $y\ne0$ or $6,$ then $\frac2x+\frac3y=\frac12$ is equivalent to

$4x+3y=xy$

$y=\frac{4x}{6-y}$

$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=2$

$\frac{4y}{y-6}=x$

以上皆非

none of these

知识点：分式方程因式分解

难度评级：1330

小提示：

一次消去三个分母

Clear all three denominators at once

大提示：

两边乘以 $2xy$ 后，把含 $x$ 的项移到同一边并提取公因式

After multiplying by $2xy,$ isolate the terms containing $x$ and factor

解答：

两边乘以 $2xy$ ，得 $4y+6x=xy$ ，所以 $4y=x(y-6)$ 。由于 $y\ne6$ ， $x=\frac{4y}{y-6}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Multiplying by $2xy$ gives $4y+6x=xy,$ so $4y=x(y-6).$ Since $y\ne6,$ $x=\frac{4y}{y-6}.$

Therefore, the correct answer is D.

2.

设 $x_1$ 和 $x_2$ 满足 $x_1\ne x_2$ ，且 $3x_i^2-hx_i=b$ ，其中 $i=1$ 、 $2$ 。则 $x_1+x_2$ 等于

Let $x_1$ and $x_2$ be such that $x_1\ne x_2$ and $3x_i^2-hx_i=b,$ $i=1,$ $2.$ Then $x_1+x_2$ equals

$-\frac h3$

$\frac h3$

$\frac b3$

$2b$

$-\frac b3$

知识点：二次方程韦达定理

难度评级：1410

小提示：

这两个数满足同一个二次方程

Both given numbers satisfy the same quadratic equation

大提示：

将 $b$ 移到左边，再使用根的和公式

Move $b$ to the left and use the sum-of-roots formula

解答：

两个不同的数 $x_1,x_2$ 是方程 $3x^2-hx-b=0$ 的两个根。由韦达定理，它们的和为 $-\frac{(-h)}{3}=\frac{h}{3}$ 。

因此，正确答案是 B。

The distinct numbers $x_1,x_2$ are the two roots of $3x^2-hx-b=0.$ By Vieta’s formulas, their sum is $-\frac{(-h)}{3}=\frac{h}{3}.$

Therefore, the correct answer is B.

3.

多项式 $(1+2x-x^2)^4$ 展开式中 $x^7$ 的系数是

The coefficient of $x^7$ in the polynomial expansion of $(1+2x-x^2)^4$ is

$-8$

$12$

$6$

$-12$

以上皆非

none of these

知识点：二项式定理多项式

难度评级：1830

小提示：

要得到次数为 $7$ 的项，四个因子中所选项的次数必须为 $2$ 、 $2$ 、 $2$ 、 $1$

A degree- $7$ term must select degrees $2,$ $2,$ $2,$ $1$ from the four factors

大提示：

选出贡献 $2x$ 的那个因子，其余三个因子都贡献 $-x^2$

Choose which factor contributes $2x$ ; the other three contribute $-x^2$

解答：

四个所选项的总次数为 $7$ 的唯一方式，是选一次 $2x$ 和三次 $-x^2$ 。贡献一次项的因子有 $4$ 种选法，所以系数为 $4(2)(-1)^3=-8\text{。}$

因此，正确答案是 A。

The only way four selected terms can have total degree $7$ is to choose $2x$ once and $-x^2$ three times. There are $4$ choices for the first factor, so the coefficient is $4(2)(-1)^3=-8.$

Therefore, the correct answer is A.

4.

$x^{51}+51$ 除以 $x+1$ 的余数是多少？

What is the remainder when $x^{51}+51$ is divided by $x+1?$

$0$

$1$

$49$

$50$

$51$

知识点：多项式换元法指数

难度评级：1410

小提示：

除以 $x+1$ 时，将 $-1$ 代入多项式

For division by $x+1,$ evaluate the polynomial at $-1$

大提示：

指数 $51$ 是奇数

The exponent $51$ is odd

解答：

由多项式余式定理，余数为 $(-1)^{51}+51=-1+51=50\text{。}$

因此，正确答案是 D。

By the polynomial remainder theorem, the remainder is $(-1)^{51}+51=-1+51=50.$

Therefore, the correct answer is D.

5.

四边形 $ABCD$ 内接于一个圆，边 $AB$ 越过 $B$ 延长至点 $E$ 。若 $\angle BAD=92^\circ$ ，且 $\angle ADC=68^\circ$ ，求 $\angle EBC$ 。

Given a quadrilateral $ABCD$ inscribed in a circle with side $AB$ extended beyond $B$ to point $E,$ if $\angle BAD=92^\circ$ and $\angle ADC=68^\circ,$ find $\angle EBC.$

$66^\circ$

$68^\circ$

$70^\circ$

$88^\circ$

$92^\circ$

知识点：圆内接四边形导角

难度评级：1460

小提示：

圆内接四边形的对角互补

Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary

大提示：

所求外角也与 $\angle ABC$ 互补

The desired exterior angle is also supplementary to $\angle ABC$

解答：

因为 $ABCD$ 是圆内接四边形，所以 $\angle ABC+\angle ADC=180^\circ$ 。又因为 $BE$ 是 $BA$ 的延长线，所以也有 $\angle EBC+\angle ABC=180^\circ$ 。因此 $\angle EBC=\angle ADC=68^\circ\text{。}$ 已知的 $92^\circ$ 角无需使用。

因此，正确答案是 B。

Because $ABCD$ is cyclic, $\angle ABC+\angle ADC=180^\circ.$ Since $BE$ extends $BA,$ $\angle EBC+\angle ABC=180^\circ$ as well. Hence $\angle EBC=\angle ADC=68^\circ.$ The given $92^\circ$ angle is unnecessary.

Therefore, the correct answer is B.

6.

对正实数 $x$ 和 $y$ ，定义 $x*y=\frac{x\cdot y}{x+y}$ ，则

For positive real numbers $x$ and $y$ define $x*y=\frac{x\cdot y}{x+y};$ then

运算“ $*$ ”满足交换律，但不满足结合律

“ $*$ ” is commutative but not associative

运算“ $*$ ”满足结合律，但不满足交换律

“ $*$ ” is associative but not commutative

运算“ $*$ ”既不满足交换律，也不满足结合律

“ $*$ ” is neither commutative nor associative

运算“ $*$ ”既满足交换律，也满足结合律

“ $*$ ” is commutative and associative

以上皆非

none of these

知识点：自定义运算分数

难度评级：1740

小提示：

交换 $x$ 与 $y$ 后，公式显然不变

The formula is visibly unchanged when $x$ and $y$ are interchanged

大提示：

用倒数改写该运算： $\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y$

Rewrite the operation through its reciprocal: $\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y$

解答：

公式关于 $x$ 、 $y$ 对称，因此该运算满足交换律。此外， $\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y\text{。}$ 所以 $(x*y)*z$ 和 $x*(y*z)$ 的倒数都是 $\frac1x+\frac1y+\frac1z$ ，故两者相等。该运算也满足结合律。

因此，正确答案是 D。

Symmetry in $x,$ $y$ makes the operation commutative. Also, $\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y.$ Thus both $(x*y)*z$ and $x*(y*z)$ have reciprocal $\frac1x+\frac1y+\frac1z,$ so they are equal. The operation is associative too.

Therefore, the correct answer is D.

7.

某镇人口先增加 $1{,}200$ 人，随后新人口数减少了 $11\%$ 。此时人口比增加 $1{,}200$ 人之前少 $32$ 人。该镇原有人口是多少？

A town’s population increased by $1{,}200$ people, and then this new population decreased by $11\%.$ The town now had $32$ less people than it did before the $1{,}200$ increase. What is the original population?

$1{,}200$

$11{,}200$

$9{,}968$

$10{,}000$

以上皆非

none of these

知识点：百分数一次方程

难度评级：1310

小提示：

设原有人口为 $P$ ，对 $P+1200$ 应用减少的百分比

Let $P$ be the original population and apply the decrease to $P+1200$

大提示：

最终人口既可表示为 $0.89(P+1200)$ ，也可表示为 $P-32$

The final population is both $0.89(P+1200)$ and $P-32$

解答：

设原有人口为 $P$ 。则 $0.89(P+1200)=P-32\text{。}$ 因此 $0.11P=1100$ ，得到 $P=10{,}000$ 。

因此，正确答案是 D。

Let the original population be $P.$ Then $0.89(P+1200)=P-32.$ Therefore $0.11P=1100,$ giving $P=10{,}000.$

Therefore, the correct answer is D.

8.

能整除 $3^{11}+5^{13}$ 的最小质数是多少？

What is the smallest prime number dividing the sum $3^{11}+5^{13}?$

$2$

$3$

$5$

$3^{11}+5^{13}$

以上皆非

none of these

知识点：奇偶性质数

难度评级：920

小提示：

两个底数都是奇数

Both bases are odd

大提示：

两个奇数之和能被最小的质数整除

The sum of two odd integers is divisible by the smallest prime

解答：

$3^{11}$ 和 $5^{13}$ 都是奇数，所以它们的和是偶数。因此，这个和能被最小的质数 $2$ 整除。

因此，正确答案是 A。

Both $3^{11}$ and $5^{13}$ are odd, so their sum is even. Hence it is divisible by $2,$ the smallest prime.

Therefore, the correct answer is A.

9.

大于一的整数按如下方式排列成五列：

	$2$	$3$	$4$	$5$
$9$	$8$	$7$	$6$
	$10$	$11$	$12$	$13$
$17$	$16$	$15$	$14$
	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

（每行出现四个连续整数；在第一、第三及其他奇数行中，整数位于后四列，并从左到右递增；在第二、第四及其他偶数行中，整数位于前四列，并从右到左递增。）

数 $1{,}000$ 将位于哪一列？

The integers greater than one are arranged in five columns as follows:

	$2$	$3$	$4$	$5$
$9$	$8$	$7$	$6$
	$10$	$11$	$12$	$13$
$17$	$16$	$15$	$14$
	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

(Four consecutive integers appear in each row; in the first, third and other odd numbered rows, the integers appear in the last four columns and increase from left to right; in the second, fourth and other even numbered rows, the integers appear in the first four columns and increase from right to left.)

In which column will the number $1{,}000$ fall?

第一列

first

第二列

second

第三列

third

第四列

fourth

第五列

fifth

知识点：找规律模运算

难度评级：1430

小提示：

观察图中所示的 $8$ 的倍数位于何处

Look at where the displayed multiples of $8$ occur

大提示：

每个两行的循环包含八个连续整数

Each two-row cycle contains eight consecutive integers

解答：

每两行构成一个包含八个整数的重复区块。在每个区块中，其中的 $8$ 的倍数都位于第二列，正如 $8$ 和 $16$ 一样。由于 $1000=125\cdot8$ ，它也位于第二列。

因此，正确答案是 B。

Each pair of rows is a repeating block of eight integers. In every such block, its multiple of $8$ lies in the second column, as do $8$ and $16.$ Since $1000=125\cdot8,$ it also lies in the second column.

Therefore, the correct answer is B.

10.

使方程 $2x(kx-4)-x^2+6=0$ 没有实根的最小整数 $k$ 是多少？

What is the smallest integral value of $k$ such that $2x(kx-4)-x^2+6=0$ has no real roots?

$-1$

$2$

$3$

$4$

$5$

知识点：二次方程不等式

难度评级：1650

小提示：

先将方程改写为标准二次方程形式

First rewrite the equation in standard quadratic form

大提示：

没有实根意味着判别式为负

No real roots means the discriminant is negative

解答：

方程可写成 $(2k-1)x^2-8x+6=0$ 。其判别式为 $64-24(2k-1)=88-48k\text{。}$ 当且仅当 $k\gt\frac{11}{6}$ 时，判别式为负，所以满足条件的最小整数是 $2$ 。

因此，正确答案是 B。

The equation is $(2k-1)x^2-8x+6=0.$ Its discriminant is $64-24(2k-1)=88-48k.$ This is negative exactly when $k\gt\frac{11}{6},$ so the least integer possible is $2.$

Therefore, the correct answer is B.

11.

若 $(a,b)$ 和 $(c,d)$ 是直线 $y=mx+k$ 上的两点，则 $(a,b)$ 与 $(c,d)$ 之间的距离用 $a$ 、 $c$ 和 $m$ 表示为

If $(a,b)$ and $(c,d)$ are two points on the line whose equation is $y=mx+k,$ then the distance between $(a,b)$ and $(c,d),$ in terms of $a,$ $c,$ and $m,$ is

$|a-c|\sqrt{1+m^2}$

$|a+c|\sqrt{1+m^2}$

$\frac{|a-c|}{\sqrt{1+m^2}}$

$|a-c|(1+m^2)$

$|a-c||m|$

知识点：坐标几何距离公式

难度评级：1390

小提示：

用直线方程将 $b-d$ 表示成 $a-c$ 的式子

Use the line equation to express $b-d$ in terms of $a-c$

大提示：

将 $b-d=m(a-c)$ 代入距离公式

Substitute $b-d=m(a-c)$ into the distance formula

解答：

因为两点都在该直线上，所以 $b-d=m(a-c)$ 。因此，它们之间的距离为 $\begin{aligned} \ell&=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\\ &=\sqrt{(a-c)^2(1+m^2)}\\ &=|a-c|\sqrt{1+m^2} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Since both points are on the line, $b-d=m(a-c).$ Their distance is therefore $\begin{aligned} \ell&=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\\ &=\sqrt{(a-c)^2(1+m^2)}\\ &=|a-c|\sqrt{1+m^2}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

12.

若 $g(x)=1-x^2$ ，且 $f(g(x))=\frac{1-x^2}{x^2}$ 在 $x\ne0$ 时成立，则 $f(\frac{1}{2})$ 等于

If $g(x)=1-x^2$ and $f(g(x))=\frac{1-x^2}{x^2}$ when $x\ne0,$ then $f(\frac{1}{2})$ equals

$\frac{3}{4}$

$1$

$3$

$\frac{\sqrt2}{2}$

$\sqrt2$

知识点：函数换元法

难度评级：1620

小提示：

选取一个非零 $x$ ，使 $g(x)=\frac{1}{2}$

Choose a nonzero $x$ for which $g(x)=\frac{1}{2}$

大提示：

方程 $1-x^2=\frac{1}{2}$ 可直接确定 $x^2$

The equation $1-x^2=\frac{1}{2}$ determines $x^2$ directly

解答：

若 $g(x)=\frac{1}{2}$ ，则 $x^2=\frac{1}{2}$ ，对应的两个 $x$ 都非零。因此 $f(\frac{1}{2})=\frac{1-x^2}{x^2} =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1\text{。}$

因此，正确答案是 B。

If $g(x)=\frac{1}{2},$ then $x^2=\frac{1}{2},$ and either corresponding $x$ is nonzero. Hence $f(\frac{1}{2})=\frac{1-x^2}{x^2} =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1.$

Therefore, the correct answer is B.

13.

以下哪一项与“若 $P$ 为真，则 $Q$ 为假”等价？

Which of the following is equivalent to “If $P$ is true then $Q$ is false”?

“ $P$ 为真，或 $Q$ 为假。”

“ $P$ is true or $Q$ is false.”

“若 $Q$ 为假，则 $P$ 为真。”

“If $Q$ is false then $P$ is true.”

“若 $P$ 为假，则 $Q$ 为真。”

“If $P$ is false then $Q$ is true.”

“若 $Q$ 为真，则 $P$ 为假。”

“If $Q$ is true then $P$ is false.”

“若 $Q$ 为真，则 $P$ 为真。”

“If $Q$ is true then $P$ is true.”

知识点：逻辑推理

难度评级：1450

小提示：

一个命题与其逆否命题等价

An implication is equivalent to its contrapositive

大提示：

将蕴含方向反转，并分别否定“ $P$ 为真”和“ $Q$ 为假”

Reverse the implication and negate both “ $P$ true” and “ $Q$ false”

解答：

“ $P$ 为真蕴含 $Q$ 为假”的逆否命题是“ $Q$ 不为假蕴含 $P$ 不为真”。这正是“若 $Q$ 为真，则 $P$ 为假”。

因此，正确答案是 D。

The contrapositive of “ $P$ true implies $Q$ false” is “ $Q$ not false implies $P$ not true.” This is exactly “If $Q$ is true then $P$ is false.”

Therefore, the correct answer is D.

14.

以下哪个命题正确？

Which statement is correct?

若 $x\lt0$ ，则 $x^2\gt x$ 。

If $x\lt0,$ then $x^2\gt x.$

若 $x^2\gt0$ ，则 $x\gt0$ 。

If $x^2\gt0,$ then $x\gt0.$

若 $x^2\gt x$ ，则 $x\gt0$ 。

If $x^2\gt x,$ then $x\gt0.$

若 $x^2\gt x$ ，则 $x\lt0$ 。

If $x^2\gt x,$ then $x\lt0.$

若 $x\lt1$ ，则 $x^2\lt x$ 。

If $x\lt1,$ then $x^2\lt x.$

知识点：不等式反例

难度评级：1160

小提示：

当 $x$ 为负数时，先比较 $x^2$ 与零

For a negative $x,$ compare $x^2$ first with zero

大提示：

用 $-1$ 、 $\frac12$ 和 $2$ 等简单数值即可否定其余命题

Simple test values such as $-1,$ $\frac12,$ and $2$ reject the other implications

解答：

若 $x\lt0$ ，则 $x^2\gt0\gt x$ ，所以选项 A 恒成立。分别取 $x=-1$ 、 $x=-1$ 、 $x=2$ 和 $x=-1$ ，即可否定 B、C、D 和 E。

因此，正确答案是 A。

If $x\lt0,$ then $x^2\gt0\gt x,$ so choice A always holds. The values $x=-1,$ $x=-1,$ $x=2,$ and $x=-1$ respectively disprove B, C, D, and E.

Therefore, the correct answer is A.

15.

若 $x\lt-2$ ，则 $\bigl|1-|1+x|\bigr|$ 等于

If $x\lt-2$ then $\bigl|1-|1+x|\bigr|$ equals

$2+x$

$-2-x$

$x$

$-x$

$-2$

知识点：绝对值不等式

难度评级：1430

小提示：

利用 $1+x\lt-1$ 先化简内层绝对值

Resolve the inner absolute value first using $1+x\lt-1$

大提示：

将 $|1+x|$ 替换为 $-1-x$ 后，判断 $2+x$ 的符号

After replacing $|1+x|$ by $-1-x,$ determine the sign of $2+x$

解答：

由于 $x\lt-2$ ，所以 $1+x\lt0$ ，从而 $|1+x|=-1-x$ 。于是 $\bigl|1-|1+x|\bigr|$ 化为 $|1-(-1-x)|$ ，即 $|2+x|=-2-x$ ，因为 $2+x\lt0$ 。

因此，正确答案是 B。

Since $x\lt-2,$ $1+x\lt0,$ so $|1+x|=-1-x.$ Thus $\bigl|1-|1+x|\bigr|$ becomes $|1-(-1-x)|,$ which is $|2+x|=-2-x$ because $2+x\lt0.$

Therefore, the correct answer is B.

16.

半径为 $r$ 的圆内切于一个等腰直角三角形，半径为 $R$ 的圆外接于该三角形。则 $\frac{R}{r}$ 等于

A circle of radius $r$ is inscribed in a right isosceles triangle, and a circle of radius $R$ is circumscribed about the triangle. Then $\frac{R}{r}$ equals

$1+\sqrt2$

$\frac{2+\sqrt2}{2}$

$\frac{\sqrt2-1}{2}$

$\frac{1+\sqrt2}{2}$

$2(2-\sqrt2)$

知识点：特殊直角三角形内切圆、内心与内切圆半径外接圆、外心与外接圆半径

难度评级：1670

小提示：

设每条直角边长为 $a$ ，用 $a$ 表示两个半径

Let each leg have length $a$ and express both radii in terms of $a$

大提示：

对直角三角形，外接圆半径是斜边的一半；内切圆半径为 $\frac{a+a-a\sqrt2}{2}$

For a right triangle, the circumradius is half the hypotenuse; the inradius is $\frac{a+a-a\sqrt2}{2}$

解答：

两条直角边长均为 $a$ ，斜边长为 $a\sqrt2$ ，所以 $\begin{aligned} R&=\frac{a\sqrt2}{2},\\ r&=\frac{a+a-a\sqrt2}{2} \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\begin{aligned} \frac Rr&=\frac{\sqrt2}{2-\sqrt2}\\ &=\frac1{\sqrt2-1}=1+\sqrt2 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

With both legs of length $a$ and hypotenuse $a\sqrt2,$ $\begin{aligned} R&=\frac{a\sqrt2}{2},\\ r&=\frac{a+a-a\sqrt2}{2}. \end{aligned}$ Therefore $\begin{aligned} \frac Rr&=\frac{\sqrt2}{2-\sqrt2}\\ &=\frac1{\sqrt2-1}=1+\sqrt2. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

17.

若 $i^2=-1$ ，则 $(1+i)^{20}-(1-i)^{20}$ 等于

If $i^2=-1,$ then $(1+i)^{20}-(1-i)^{20}$ equals

$-1024$

$-1024i$

$0$

$1024$

$1024i$

知识点：复数指数

难度评级：1540

小提示：

分别计算两个共轭底数的四次方

Compute the fourth power of each conjugate base

大提示：

$(1+i)^4$ 和 $(1-i)^4$ 都等于 $-4$

Both $(1+i)^4$ and $(1-i)^4$ equal $-4$

解答：

由于 $(1+i)^2=2i$ ，所以 $(1+i)^4=-4$ 。同理， $(1-i)^2=-2i$ ，且 $(1-i)^4=-4$ 。因此，两个二十次方都等于 $(-4)^5=-1024$ ，它们的差为 $0$ 。

因此，正确答案是 C。

Since $(1+i)^2=2i,$ we have $(1+i)^4=-4.$ Likewise $(1-i)^2=-2i$ and $(1-i)^4=-4.$ Hence each twentieth power equals $(-4)^5=-1024,$ and their difference is $0.$

Therefore, the correct answer is C.

18.

若 $\log_8 3=p$ ，且 $\log_3 5=q$ ，则用 $p$ 和 $q$ 表示的 $\log_{10}5$ 等于

If $\log_8 3=p$ and $\log_3 5=q,$ then, in terms of $p$ and $q,$ $\log_{10}5$ equals

$pq$

$\frac{3p+q}{5}$

$\frac{1+3pq}{p+q}$

$\frac{3pq}{1+3pq}$

$p^2+q^2$

知识点：对数

难度评级：1780

小提示：

将所有对数都换成以 $2$ 为底

Convert every logarithm to base $2$

大提示：

已知条件可推出 $\log_2 3=3p$ 和 $\log_2 5=3pq$

The givens imply $\log_2 3=3p$ and $\log_2 5=3pq$

解答：

由 $p=\log_8 3$ 可得 $\log_2 3=3p$ 。因此 $\log_2 5=(\log_2 3)(\log_3 5)=3pq\text{。}$ 又因为 $\log_2 10=1+\log_2 5=1+3pq$ ，所以 $\log_{10}5=\frac{\log_2 5}{\log_2 10} =\frac{3pq}{1+3pq}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

From $p=\log_8 3,$ $\log_2 3=3p.$ Therefore $\log_2 5=(\log_2 3)(\log_3 5)=3pq.$ Since $\log_2 10=1+\log_2 5=1+3pq,$ $\log_{10}5=\frac{\log_2 5}{\log_2 10} =\frac{3pq}{1+3pq}.$

Therefore, the correct answer is D.

19.

在附图中， $ABCD$ 是正方形， $CMN$ 是等边三角形。若 $ABCD$ 的面积为一平方英寸，则 $CMN$ 的面积（以平方英寸为单位）为

In the adjoining figure $ABCD$ is a square and $CMN$ is an equilateral triangle. If the area of $ABCD$ is one square inch, then the area of $CMN$ in square inches is

$2\sqrt3-3$

$1-\frac{\sqrt3}{3}$

$\frac{\sqrt3}{4}$

$\frac{\sqrt2}{3}$

$4-2\sqrt3$

知识点：等边三角形勾股定理三角形面积

难度评级：2070

小提示：

正方形边长为 $1$ ；令 $DM=NB=x$ ，这可由比较相等的边 $CM$ 与 $CN$ 得到

The square has side $1;$ set $DM=NB=x$ by comparing the equal sides $CM$ and $CN$

大提示：

令 $CM^2=1+x^2$ 与 $MN^2=2(1-x)^2$ 相等

Equate $CM^2=1+x^2$ with $MN^2=2(1-x)^2$

解答：

正方形边长为 $1$ 。由于 $CM=CN$ ，比较它们长度的平方可得 $DM=NB=x$ 。此外， $\begin{aligned} CM^2&=1+x^2,\\ MN^2&=2(1-x)^2 \end{aligned}\text{。}$ 因为 $CMN$ 是等边三角形，令两式相等可得 $x^2-4x+1=0$ 。位于 $(0,1)$ 内的根是 $x=2-\sqrt3$ 。

三角形边长的平方为 $1+x^2$ ，所以其面积为 $\begin{aligned} A_\triangle&=\frac{\sqrt3}{4}(1+x^2)\\ &=\frac{\sqrt3}{4} \bigl(1+(2-\sqrt3)^2\bigr)\\ &=2\sqrt3-3 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

The square has side $1.$ Since $CM=CN,$ symmetry of their squared lengths gives $DM=NB=x.$ Also, $\begin{aligned} CM^2&=1+x^2,\\ MN^2&=2(1-x)^2. \end{aligned}$ Equating these because $CMN$ is equilateral gives $x^2-4x+1=0.$ The root in $(0,1)$ is $x=2-\sqrt3.$

The triangle’s side has square $1+x^2,$ so its area is $\begin{aligned} A_\triangle&=\frac{\sqrt3}{4}(1+x^2)\\ &=\frac{\sqrt3}{4} \bigl(1+(2-\sqrt3)^2\bigr)\\ &=2\sqrt3-3. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

20.

令 $\begin{aligned} T={}&\frac1{3-\sqrt8} -\frac1{\sqrt8-\sqrt7}\\ &+\frac1{\sqrt7-\sqrt6} -\frac1{\sqrt6-\sqrt5}\\ &+\frac1{\sqrt5-2} \end{aligned}\text{，}$ 则

Let $\begin{aligned} T={}&\frac1{3-\sqrt8} -\frac1{\sqrt8-\sqrt7}\\ &+\frac1{\sqrt7-\sqrt6} -\frac1{\sqrt6-\sqrt5}\\ &+\frac1{\sqrt5-2}; \end{aligned}$ then

$T\lt1$

$T=1$

$1\lt T\lt2$

$T\gt2$

$\displaystyle T=\frac1{\substack{(3-\sqrt8)(\sqrt8-\sqrt7)(\sqrt7-\sqrt6)\\ {}\cdot(\sqrt6-\sqrt5)(\sqrt5-2)}}$

知识点：分母有理化裂项相消

难度评级：1740

小提示：

分别将每个分母有理化

Rationalize each denominator separately

大提示：

每个分母都是两个平方相差 $1$ 的平方根之差

Every denominator is a difference of square roots whose squares differ by $1$

解答：

将五项的分母有理化，得 $\begin{aligned} T={}&(3+\sqrt8)-(\sqrt8+\sqrt7)\\ &+(\sqrt7+\sqrt6)-(\sqrt6+\sqrt5)\\ &+(\sqrt5+2)=5 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $T\gt2$ 。

因此，正确答案是 D。

Rationalizing the five terms gives $\begin{aligned} T={}&(3+\sqrt8)-(\sqrt8+\sqrt7)\\ &+(\sqrt7+\sqrt6)-(\sqrt6+\sqrt5)\\ &+(\sqrt5+2)=5. \end{aligned}$ Thus $T\gt2.$

Therefore, the correct answer is D.

21.

在一个各项均为正数的等比数列中，第五项与第四项之差为 $576$ ，第二项与第一项之差为 $9$ 。这个数列前五项的和是多少？

In a geometric series of positive terms the difference between the fifth and fourth terms is $576,$ and the difference between the second and first terms is $9.$ What is the sum of the first five terms of this series?

$1061$

$1023$

$1024$

$768$

以上皆非

none of these

知识点：等比数列求和

难度评级：1900

小提示：

设首项为 $a$ ，公比为 $r$

Write the first term as $a$ and the common ratio as $r$

大提示：

用 $ar^3(r-1)=576$ 除以 $a(r-1)=9$

Divide $ar^3(r-1)=576$ by $a(r-1)=9$

解答：

设首项为 $a$ ，公比为 $r$ 。由条件可得 $\begin{aligned} ar^3(r-1)&=576,\\ a(r-1)&=9 \end{aligned}\text{。}$ 两式相除得 $r^3=64$ ，所以 $r=4$ 。于是 $3a=9$ ，从而 $a=3$ 。所求和为 $\begin{aligned} S&=3(1+4+16+64+256)\\ &=3\cdot341\\ &=1023 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

Let the first term be $a$ and the ratio be $r.$ The conditions give $\begin{aligned} ar^3(r-1)&=576,\\ a(r-1)&=9. \end{aligned}$ Their quotient gives $r^3=64,$ so $r=4.$ Then $3a=9,$ hence $a=3.$ The sum is $\begin{aligned} S&=3(1+4+16+64+256)\\ &=3\cdot341\\ &=1023. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

22.

$\sin\frac A2-\sqrt3\cos\frac A2$ 在 $A$ 取何值时取得最小值？

The minimum value of $\sin\frac A2-\sqrt3\cos\frac A2$ is attained when $A$ is

$-180^\circ$

$60^\circ$

$120^\circ$

$0^\circ$

以上皆非

none of these

知识点：三角恒等式三角学

难度评级：1780

小提示：

将正弦项与余弦项合并成一个振幅为 $2$ 的平移正弦函数

Combine the sine and cosine into one shifted sine with amplitude $2$

大提示：

使用 $\sin u-\sqrt3\cos u=2\sin(u-60^\circ)$

Use $\sin u-\sqrt3\cos u=2\sin(u-60^\circ)$

解答：

令 $u=\frac{A}{2}$ 。则 $\sin u-\sqrt3\cos u$ 等于 $2\sin(u-60^\circ)$ 。当 $u-60^\circ=270^\circ+360^\circ n$ 时取得最小值，所以 $A=660^\circ+720^\circ n$ 其中 $n$ 为整数。前四个选项都不具有这种形式。

因此，正确答案是 E。

Let $u=\frac{A}{2}.$ Then $\sin u-\sqrt3\cos u$ equals $2\sin(u-60^\circ).$ Its minimum occurs when $u-60^\circ=270^\circ+360^\circ n,$ so $A=660^\circ+720^\circ n$ for an integer $n.$ None of the first four choices has this form.

Therefore, the correct answer is E.

23.

在附图中， $TP$ 与 $T'Q$ 是半径为 $r$ 的圆的两条平行切线， $T$ 和 $T'$ 为切点。 $PT''Q$ 是第三条切线，切点为 $T''$ 。若 $TP=4$ ，且 $T'Q=9$ ，则 $r$ 为

In the adjoining figure $TP$ and $T'Q$ are parallel tangents to a circle of radius $r,$ with $T$ and $T'$ the points of tangency. $PT''Q$ is a third tangent with $T''$ as point of tangency. If $TP=4$ and $T'Q=9$ then $r$ is

$\frac{25}{6}$

$6$

$\frac{25}{4}$

不同于 $\frac{25}{6}$ 、 $6$ 或 $\frac{25}{4}$ 的数

a number other than $\frac{25}{6},$ $6,$ or $\frac{25}{4}$

无法由已知信息确定

not determinable from the given information

知识点：切线直角三角形相似

难度评级：2070

小提示：

圆心位于同一外点所引两条切线夹角的角平分线上

The center lies on each angle bisector formed by two tangents from the same external point

大提示：

证明 $\angle POQ=90^\circ$ ，并在 $T''$ 处使用直角三角形斜边上高的定理

Show that $\angle POQ=90^\circ$ and use the altitude-to-hypotenuse theorem at $T''$

解答：

从每个外点出发，到切点的半径构成全等的直角三角形，所以 $OP$ 与 $OQ$ 分别平分两个切线夹角。由于另外两条切线平行，这两个半角之和为 $90^\circ$ ，因此 $\angle POQ=90^\circ$ 。

因此 $OT''=r$ 是斜边 $PQ$ 上的高。由同一外点引出的切线段相等，得 $PT''=PT=4$ 和 $QT''=QT'=9$ 。由斜边上高的定理， $r^2=(PT'')(QT'')=4\cdot9=36\text{，}$ 所以 $r=6$ 。

因此，正确答案是 B。

The radii to the tangency points make congruent right triangles from each external point, so $OP$ and $OQ$ bisect the two tangent angles. Because the other two tangents are parallel, these half-angles add to $90^\circ;$ hence $\angle POQ=90^\circ.$

Thus $OT''=r$ is the altitude to the hypotenuse $PQ.$ Equal tangent segments give $PT''=PT=4$ and $QT''=QT'=9.$ The altitude theorem yields $r^2=(PT'')(QT'')=4\cdot9=36,$ so $r=6.$

Therefore, the correct answer is B.

24.

将一枚均匀骰子掷六次。至少五次掷出不小于五点的概率为

A fair die is rolled six times. The probability of rolling at least a five at least five times is

$\frac{13}{729}$

$\frac{12}{729}$

$\frac{2}{729}$

$\frac{3}{729}$

以上皆非

none of these

知识点：二项概率骰子（概率）

难度评级：1900

小提示：

将一次符合条件的投掷视为成功，其概率为 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

A roll is a success with probability $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

大提示：

将恰好成功五次与恰好成功六次这两个互斥情形的概率相加

Add the disjoint cases of exactly five successes and exactly six successes

解答：

把掷出 $5$ 或 $6$ 记为一次成功，其概率为 $\frac{1}{3}$ 。所求概率为 $\begin{aligned} &\binom65\left(\frac13\right)^5 \left(\frac23\right) +\left(\frac13\right)^6\\ &\qquad=\frac{12}{729}+\frac1{729}\\ &\qquad=\frac{13}{729} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Let a success be a $5$ or $6,$ so its probability is $\frac{1}{3}.$ The desired probability is $\begin{aligned} &\binom65\left(\frac13\right)^5 \left(\frac23\right) +\left(\frac13\right)^6\\ &\qquad=\frac{12}{729}+\frac1{729}\\ &\qquad=\frac{13}{729}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

25.

在附图的平行四边形 $ABCD$ 中，直线 $DP$ 平分 $BC$ 于 $N$ ，并与 $AB$ 的延长线交于 $P$ 。从顶点 $C$ 作直线 $CQ$ ，它平分边 $AD$ 于 $M$ ，并与 $AB$ 的延长线交于 $Q$ 。直线 $DP$ 与 $CQ$ 相交于 $O$ 。若平行四边形 $ABCD$ 的面积为 $k$ ，则三角形 $QPO$ 的面积等于

In parallelogram $ABCD$ of the accompanying diagram, line $DP$ is drawn bisecting $BC$ at $N$ and meeting $AB$ (extended) at $P.$ From vertex $C,$ line $CQ$ is drawn bisecting side $AD$ at $M$ and meeting $AB$ (extended) at $Q.$ Lines $DP$ and $CQ$ meet at $O.$ If the area of parallelogram $ABCD$ is $k,$ then the area of triangle $QPO$ is equal to

$k$

$\frac{6k}{5}$

$\frac{9k}{8}$

$\frac{5k}{4}$

$2k$

知识点：平行四边形坐标几何三角形面积

难度评级：2100

小提示：

取 $A=(0,0)$ 、 $B=(1,0)$ 、 $D=(u,v)$ 和 $C=(u+1,v)$

Use $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $D=(u,v),$ and $C=(u+1,v)$

大提示：

两条中点连线与基线分别交于 $Q=(-1,0)$ 和 $P=(2,0)$ ；再求 $O$ 的高度

The midpoint lines meet the baseline at $Q=(-1,0)$ and $P=(2,0)$ ; then find $O$ ’s height

解答：

选取坐标 $A=(0,0)$ 、 $B=(1,0)$ 、 $D=(u,v)$ 和 $C=(u+1,v)$ ，于是 $k=v$ 。两个中点为 $\begin{aligned} M&=(\frac{u}{2},\frac{v}{2}),\\ N&=(1+\frac{u}{2},\frac{v}{2}) \end{aligned}\text{。}$ 将 $CM$ 和 $DN$ 延长至 $y=0$ ，可得 $Q=(-1,0)$ 和 $P=(2,0)$ 。

将 $DP$ 与 $CQ$ 参数化，可得它们的交点为 $O=(\frac{3u}{4}+\frac{1}{2},\frac{3v}{4})$ 。因此 $QP=3$ ，从 $O$ 到基线的高为 $\frac{3v}{4}$ ，所以 $\begin{aligned} [QPO]&=\frac12(3)\left(\frac{3v}{4}\right)\\ &=\frac{9v}{8}=\frac{9k}{8} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Choose coordinates $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $D=(u,v),$ and $C=(u+1,v),$ so $k=v.$ The midpoints are $\begin{aligned} M&=(\frac{u}{2},\frac{v}{2}),\\ N&=(1+\frac{u}{2},\frac{v}{2}). \end{aligned}$ Extending $CM$ and $DN$ to $y=0$ gives $Q=(-1,0)$ and $P=(2,0).$

Parameterizing $DP$ and $CQ$ shows their intersection is $O=(\frac{3u}{4}+\frac{1}{2},\frac{3v}{4}).$ Thus $QP=3$ and the height from $O$ is $\frac{3v}{4},$ so $\begin{aligned} [QPO]&=\frac12(3)\left(\frac{3v}{4}\right)\\ &=\frac{9v}{8}=\frac{9k}{8}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

26.

$(30)^4$ 的不同正整数因数中，除去 $1$ 和 $(30)^4$ 后，共有多少个？

The number of distinct positive integral divisors of $(30)^4$ excluding $1$ and $(30)^4$ is

$100$

$125$

$123$

$30$

以上皆非

none of these

知识点：质因数分解因数个数

难度评级：1790

小提示：

将 $30^4$ 分解为 $2$ 、 $3$ 和 $5$ 的幂的乘积

Factor $30^4$ into powers of $2,$ $3,$ and $5$

大提示：

每个质因数的指数都可独立地从 $0$ 到 $4$ 中选择，最后去掉两个因数

Choose each prime exponent independently from $0$ through $4,$ then remove two divisors

解答：

因为 $30^4=2^4\cdot3^4\cdot5^4\text{，}$ 每个因数都可独立选择三个指数，每个指数取自 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 。共有 $5^3=125$ 个因数。除去 $1$ 和 $30^4$ ，还剩 $125-2=123$ 个。

因此，正确答案是 C。

Because $30^4=2^4\cdot3^4\cdot5^4,$ a divisor independently chooses each of three exponents from $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4.$ There are $5^3=125$ divisors. Excluding $1$ and $30^4$ leaves $125-2=123.$

Therefore, the correct answer is C.

27.

若 $f(x)=3x+2$ 对所有实数 $x$ 都成立，则命题：

“ $|f(x)+4|\lt a$ 在 $|x+2|\lt b$ 、 $a\gt0$ 且 $b\gt0$ 时恒成立”

在下列何种条件下成立？

If $f(x)=3x+2$ for all real $x,$ then the statement:

“ $|f(x)+4|\lt a$ whenever $|x+2|\lt b$ and $a\gt0$ and $b\gt0$ ”

is true when

$b\le \frac{a}{3}$

$b\gt \frac{a}{3}$

$a\le \frac{b}{3}$

$a\gt \frac{b}{3}$

该命题永不成立。

The statement is never true.

知识点：绝对值函数不等式

难度评级：1670

小提示：

将 $f(x)+4$ 用 $x+2$ 表示并因式分解

Factor $f(x)+4$ in terms of $x+2$

大提示：

条件变为 $3|x+2|\lt a$ ，且该式在 $|x+2|\lt b$ 时恒成立

The condition becomes $3|x+2|\lt a$ whenever $|x+2|\lt b$

解答：

有 $|f(x)+4|=|3x+6|=3|x+2|\text{。}$ 若 $|x+2|\lt b$ ，且 $b\le \frac{a}{3}$ ，则 $3|x+2|\lt3b\le a$ ，符合要求。若 $b\gt \frac{a}{3}$ ，则可选取 $|x+2|$ ，使它严格介于 $\frac{a}{3}$ 与 $b$ 之间，命题便不成立。因此，确切条件是 $b\le \frac{a}{3}$ 。

因此，正确答案是 A。

We have $|f(x)+4|=|3x+6|=3|x+2|.$ If $|x+2|\lt b$ and $b\le \frac{a}{3},$ then $3|x+2|\lt3b\le a,$ as required. If $b\gt \frac{a}{3},$ one can choose $|x+2|$ strictly between $\frac{a}{3}$ and $b,$ so the statement fails. Thus the exact condition is $b\le \frac{a}{3}.$

Therefore, the correct answer is A.

28.

对所有形如 $x=\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{3^2}+\cdots+\frac{a_{25}}{3^{25}}$ 的数 $x$ ，以下哪一项恒成立？其中 $a_1$ 为 $0$ 或 $2$ ， $a_2$ 为 $0$ 或 $2$ ， $\ldots$ ， $a_{25}$ 为 $0$ 或 $2$ 。

Which of the following is satisfied by all numbers $x$ of the form $x=\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{3^2}+\cdots+\frac{a_{25}}{3^{25}},$ where $a_1$ is $0$ or $2,$ $a_2$ is $0$ or $2,$ $\ldots,$ $a_{25}$ is $0$ or $2?$

$0\le x\lt\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}\le x\lt\frac{2}{3}$

$\frac{2}{3}\le x\lt1$

$0\le x\lt\frac{1}{3}$ 或 $\frac{2}{3}\le x\lt1$

$0\le x\lt\frac{1}{3}$ or $\frac{2}{3}\le x\lt1$

$\frac{1}{2}\le x\le\frac{3}{4}$

知识点：进制等比数列极限情形界定

难度评级：2090

小提示：

分别考虑 $a_1=0$ 和 $a_1=2$ 两种情形

Separate the cases $a_1=0$ and $a_1=2$

大提示：

用无穷等比数列的尾和 $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{3^n}$ 估计其余各项

Bound the remaining terms by the infinite geometric tail $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{3^n}$

解答：

若 $a_1=0$ ，则 $0\le x\le\sum_{n=2}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=2}^{\infty}\frac2{3^n}=\frac13\text{。}$ 若 $a_1=2$ ，则 $x\ge\frac{2}{3}$ ，同时 $x\le\sum_{n=1}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{3^n}=1\text{。}$ 因此，每个这样的 $x$ 都位于所述两个外侧三等分区间之一。

因此，正确答案是 D。

If $a_1=0,$ then $0\le x\le\sum_{n=2}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=2}^{\infty}\frac2{3^n}=\frac13.$ If $a_1=2,$ then $x\ge\frac{2}{3},$ while $x\le\sum_{n=1}^{25}\frac2{3^n} \lt\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{3^n}=1.$ Hence every such $x$ lies in one of the two stated outer thirds.

Therefore, the correct answer is D.

29.

对 $p=1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 、 $10$ ，令 $S_p$ 为一个等差数列前 $40$ 项的和，其中首项为 $p$ ，公差为 $2p-1$ 。则 $S_1+S_2+\cdots+S_{10}$ 等于

For $p=1,$ $2,$ $\ldots,$ $10$ let $S_p$ be the sum of the first $40$ terms of the arithmetic progression whose first term is $p$ and whose common difference is $2p-1;$ then $S_1+S_2+\cdots+S_{10}$ is

$80{,}000$

$80{,}200$

$80{,}400$

$80{,}600$

$80{,}800$

知识点：等差数列求和

难度评级：1740

小提示：

使用 $40$ 项等差数列求和公式，其中 $p$ 固定

Use the $40$ -term arithmetic-series formula for a fixed $p$

大提示：

先化简 $S_p=20\bigl(2p+39(2p-1)\bigr)$ ，再对 $p$ 求和

Simplify $S_p=20\bigl(2p+39(2p-1)\bigr)$ before summing over $p$

解答：

对每个 $p$ ， $\begin{aligned} S_p&=\frac{40}{2} \bigl(2p+39(2p-1)\bigr)\\ &=1600p-780 \end{aligned}\text{。}$ 由于 $1+2+\cdots+10=55$ ，所以 $\begin{aligned} \sum_{p=1}^{10}S_p &=1600(55)-7800\\ &=80{,}200 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

For each $p,$ $\begin{aligned} S_p&=\frac{40}{2} \bigl(2p+39(2p-1)\bigr)\\ &=1600p-780. \end{aligned}$ Since $1+2+\cdots+10=55,$ therefore $\begin{aligned} \sum_{p=1}^{10}S_p &=1600(55)-7800\\ &=80{,}200. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

30.

一条线段被分成两部分，使较短部分与较长部分之比等于较长部分与整条线段之比。若 $R$ 是较短部分与较长部分之比，则 $R^{\left[R^{\left(R^2+R^{-1}\right)}+R^{-1}\right]}+R^{-1}$ 的值为

A line segment is divided so that the lesser part is to the greater part as the greater part is to the whole. If $R$ is the ratio of the lesser part to the greater part, then the value of $R^{\left[R^{\left(R^2+R^{-1}\right)}+R^{-1}\right]}+R^{-1}$ is

$2$

$2R$

$R^{-1}$

$2+R^{-1}$

$2+R$

知识点：二次方程指数换元法

难度评级：2100

小提示：

将分割条件写成 $R=\frac{1}{1+R}$

Translate the division condition into $R=\frac{1}{1+R}$

大提示：

由 $R^2+R=1$ 推出 $R^{-1}=R+1$ ，再从最内层指数向外化简

From $R^2+R=1,$ derive $R^{-1}=R+1$ and simplify from the innermost exponent outward

解答：

将较长部分缩放为 $1$ ，则较短部分为 $R$ 。由条件得 $R=\frac{1}{1+R}$ ，所以 $R^2+R=1,\qquad R^{-1}=R+1\text{。}$ 因此 $R^2+R^{-1}=R^2+R+1=2\text{。}$ 从内向外化简，最外层 $R$ 的指数变为 $\begin{aligned} R^{\,R^2+R^{-1}}+R^{-1} &=R^2+R^{-1}\\ &=2 \end{aligned}\text{。}$ 所以整个表达式为 $R^2+R^{-1}=2$ 。

因此，正确答案是 A。

Scale the greater part to $1,$ making the lesser part $R.$ The condition gives $R=\frac{1}{1+R},$ so $R^2+R=1,\qquad R^{-1}=R+1.$ Consequently $R^2+R^{-1}=R^2+R+1=2.$ Working outward, the exponent of the outer $R$ becomes $\begin{aligned} R^{\,R^2+R^{-1}}+R^{-1} &=R^2+R^{-1}\\ &=2. \end{aligned}$ The whole expression is therefore $R^2+R^{-1}=2.$

Therefore, the correct answer is A.