1974 AMC 12 Problema 18

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

Si $\log_8 3=p$ y $\log_3 5=q,$ entonces, en términos de $p$ y $q,$ $\log_{10}5$ es igual a

If $\log_8 3=p$ and $\log_3 5=q,$ then, in terms of $p$ and $q,$ $\log_{10}5$ equals

$pq$

$\frac{3p+q}{5}$

$\frac{1+3pq}{p+q}$

$\frac{3pq}{1+3pq}$

$p^2+q^2$

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Convierte todos los logaritmos a base $2$

Convert every logarithm to base $2$

Pista grande:

Los datos implican $\log_2 3=3p$ y $\log_2 5=3pq$

The givens imply $\log_2 3=3p$ and $\log_2 5=3pq$

Solución:

De $p=\log_8 3,$ se obtiene $\log_2 3=3p.$ Por lo tanto, $\log_2 5=(\log_2 3)(\log_3 5)=3pq.$ Como $\log_2 10=1+\log_2 5=1+3pq,$ $\log_{10}5=\frac{\log_2 5}{\log_2 10} =\frac{3pq}{1+3pq}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

From $p=\log_8 3,$ $\log_2 3=3p.$ Therefore $\log_2 5=(\log_2 3)(\log_3 5)=3pq.$ Since $\log_2 10=1+\log_2 5=1+3pq,$ $\log_{10}5=\frac{\log_2 5}{\log_2 10} =\frac{3pq}{1+3pq}.$

Therefore, the correct answer is D.

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