Question

Al y Barb comienzan sus nuevos trabajos el mismo día. El horario de Al consiste en $3$ días de trabajo seguidos de $1$ día de descanso. El horario de Barb consiste en $7$ días de trabajo seguidos de $3$ días de descanso. Durante sus primeros $1000$ días, ¿cuántos días descansan ambos a la vez?

Al and Barb start their new jobs on the same day. Al’s schedule is $3$ work-days followed by $1$ rest-day. Barb’s schedule is $7$ work-days followed by $3$ rest-days. On how many of their first $1000$ days do both have rest-days on the same day?

$48$

$50$

$72$

$75$

$100$

Respuesta: E

Conceptos:periodic schedules mínimo común múltiplo counting

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

El horario combinado se repite cada $\operatorname{lcm}(4,10)$ días

The combined schedule repeats every $\operatorname{lcm}(4,10)$ days

Pista grande:

Dentro de un ciclo de $20$ días, compara los días de descanso de Al con los de Barb

Within one $20$ -day cycle, compare Al’s rest days with Barb’s

Solución:

El patrón combinado se repite cada $20$ días. Al descansa los días $4,$ $8,$ $12,$ $16,$ $20,$ mientras que Barb descansa los días $8,$ $9,$ $10,$ $18,$ $19,$ $20.$ Sus días de descanso comunes son $8$ y $20,$ dos por ciclo. Hay $\frac{1000}{20}=50$ ciclos, lo que da $2\cdot50=100$ días de descanso comunes. Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The combined pattern repeats every $20$ days. Al rests on days $4,$ $8,$ $12,$ $16,$ $20,$ while Barb rests on days $8,$ $9,$ $10,$ $18,$ $19,$ $20.$ Their common rest days are $8$ and $20,$ two per cycle. There are $\frac{1000}{20}=50$ cycles, giving $2\cdot50=100$ common rest days. Thus the correct answer is E.

1993 AMC 12 Problema 18

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años