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1973 AMC 12 Problema 18

Intenta el Problema 18 del 1973 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1973 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

Si p≥5p\ge5 es un número primo, entonces 2424 divide a p2−1p^2-1 sin residuo

If p≥5p\ge5 is a prime number, then 2424 divides p2−1p^2-1 without remainder

nunca

never

solo algunas veces

sometimes only

siempre

always

solo si p=5p=5

only if p=5p=5

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C
Conceptos:divisibilidadprimoaritmética modular
Nivel de dificultad: 1610
Pista pequeña:

Factoriza p2−1=(p−1)(p+1)p^2-1=(p-1)(p+1)

Factor p2−1=(p−1)(p+1)p^2-1=(p-1)(p+1)

Pista grande:

Entre los tres enteros consecutivos p−1,p-1, p,p, p+1,p+1, localiza factores de 33 y 88

Among the three consecutive integers p−1,p-1, p,p, p+1,p+1, locate factors of 33 and 88

Solución:

Un primo p≥5p\ge5 es impar, así que p−1p-1 y p+1p+1 son enteros pares consecutivos. Uno de ellos es divisible por 4,4, por lo que su producto es divisible por 8.8. Entre los tres enteros consecutivos p−1,p-1, p,p, p+1,p+1, uno es divisible por 3.3. No puede ser p,p, pues p≥5p\ge5 es primo, así que 33 también divide a (p−1)(p+1).(p-1)(p+1). Como 33 y 88 son coprimos, (p−1)(p+1)=p2−1 (p-1)(p+1)=p^2-1 siempre es divisible por 24.24.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A prime p≥5p\ge5 is odd, so p−1p-1 and p+1p+1 are consecutive even integers. One is divisible by 4,4, making their product divisible by 8.8. Among the three consecutive integers p−1,p-1, p,p, p+1,p+1, one is divisible by 3.3. It cannot be p,p, since p≥5p\ge5 is prime, so 33 also divides (p−1)(p+1).(p-1)(p+1). Because 33 and 88 are relatively prime, (p−1)(p+1)=p2−1 (p-1)(p+1)=p^2-1 is always divisible by 24.24.

Therefore, the correct answer is C.

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