Question

El número de soluciones reales de la ecuación $\frac{x}{100}=\sin x$ es

The number of real solutions to the equation $\frac{x}{100}=\sin x$ is

$61$

$62$

$63$

$64$

$65$

Respuesta: C

Conceptos:trigonometría conteo de intersecciones simetría

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Usa la simetría impar y cuenta primero las soluciones positivas

Use odd symmetry and first count the positive solutions

Pista grande:

Solo las semiondas positivas del seno anteriores a $x=100$ pueden cortar la recta; trata con cuidado la primera

Only positive sine humps below $x=100$ can meet the line, with special care for the first hump

Solución:

La ecuación tiene simetría impar y posee la solución $x=0.$ En $(0,\pi)$ hay una solución positiva adicional. Para cada $k=1,2,\ldots,15,$ la semionda positiva del seno en $(2k\pi,(2k+1)\pi)$ sube por encima de $\frac{x}{100}$ y luego baja por debajo, lo que da dos soluciones. No hay soluciones positivas después de $31\pi$ , porque la siguiente semionda positiva comienza por encima de $100$ , mientras que $|\sin x|\le1.$ Por tanto, hay $1+2(15)=31$ soluciones positivas, el mismo número de negativas y además el cero: $31+31+1=63.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The equation is odd-symmetric and has the solution $x=0.$ On $(0,\pi)$ there is one further positive solution. For each $k=1,2,\ldots,15,$ the positive sine hump on $(2k\pi,(2k+1)\pi)$ rises above $\frac{x}{100}$ and then falls below it, giving two solutions. There are no positive solutions beyond $31\pi$ , because the next positive hump begins above $100$ while $|\sin x|\le1.$ Thus there are $1+2(15)=31$ positive solutions, the same number negative, and zero itself: $31+31+1=63.$

Therefore, the correct answer is C.

1981 AMC 12 Problema 18

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años