Question

En la figura adjunta, $AB$ es tangente en $A$ al círculo de centro $O;$ el punto $D$ está en el interior del círculo; y $DB$ corta al círculo en $C.$ Si $BC=DC=3,$ $OD=2$ y $AB=6,$ entonces el radio del círculo es

In the adjoining figure, $AB$ is tangent at $A$ to the circle with center $O;$ point $D$ is interior to the circle; and $DB$ intersects the circle at $C.$ If $BC=DC=3,$ $OD=2$ and $AB=6,$ then the radius of the circle is

$3+\sqrt3$

$\frac{15}{\pi}$

$\frac92$

$2\sqrt6$

$\sqrt{22}$

Respuesta: E

Conceptos:círculo recta tangente potencia de un punto

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Prolonga $BD$ más allá de $D$ hasta volver a cortar el círculo en $E$

Extend $BD$ through $D$ to meet the circle again at $E$

Pista grande:

Usa primero $BC\cdot BE=AB^2$ y luego la potencia del punto interior $D$

Use $BC\cdot BE=AB^2$ first, then use the power of interior point $D$

Solución:

Prolonga $BD$ más allá de $D$ hasta cortar el círculo en $E.$ Como $BC=3$ y $BD=6,$ el teorema tangente-secante da $3\cdot BE=AB^2=36,$ de modo que $BE=12$ y $DE=6.$ La potencia de $D$ da $\begin{aligned} DC\cdot DE&=(R-OD)(R+OD)\\ &=R^2-OD^2, \end{aligned}$ por lo que $3\cdot6=(R-2)(R+2)=R^2-4.$ Así, $R^2=22$ y $R=\sqrt{22}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Extend $BD$ through $D$ to meet the circle at $E.$ Since $BC=3$ and $BD=6,$ the tangent-secant theorem gives $3\cdot BE=AB^2=36,$ so $BE=12$ and $DE=6.$ The power of $D$ gives $\begin{aligned} DC\cdot DE&=(R-OD)(R+OD)\\ &=R^2-OD^2, \end{aligned}$ hence $3\cdot6=(R-2)(R+2)=R^2-4.$ Thus $R^2=22$ and $R=\sqrt{22}.$

Therefore, the correct answer is E.

1976 AMC 12 Problema 18

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años