Question

La sucesión creciente de enteros positivos $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ cumple, para todo $n\ge1,$ $a_{n+2}=a_n+a_{n+1}.$ Si $a_7=120,$ entonces $a_8$ es

The increasing sequence of positive integers $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ has the property that, for every $n\ge1,$ $a_{n+2}=a_n+a_{n+1}.$ If $a_7=120,$ then $a_8$ is

$128$

$168$

$193$

$194$

$210$

Respuesta: D

Conceptos:Fibonacci recurrence Diophantine equation increasing sequence

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Expresa $a_7$ y $a_8$ en función de $a_1$ y $a_2$

Write $a_7$ and $a_8$ in terms of $a_1$ and $a_2$

Pista grande:

A partir de $5a_1+8a_2=120,$ usa congruencias y $a_2\gt a_1\gt0$

From $5a_1+8a_2=120,$ use congruences and $a_2\gt a_1\gt0$

Solución:

Sean $a_1=a$ y $a_2=b.$ Al usar repetidamente la recurrencia se obtiene $\begin{aligned} a_7&=5a+8b=120,\\ a_8&=8a+13b. \end{aligned}$ Módulo $5,$ la primera ecuación muestra que $b$ es múltiplo de $5.$ Las posibilidades positivas son $b=5,$ $b=10,$ o $b=15.$ Las condiciones $b\gt a\gt0$ solo permiten $b=10$ y $a=8.$ Por tanto, $a_8=8(8)+13(10)=194.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $a_1=a$ and $a_2=b.$ Repeated use of the recurrence gives $\begin{aligned} a_7&=5a+8b=120,\\ a_8&=8a+13b. \end{aligned}$ Modulo $5,$ the first equation shows that $b$ is a multiple of $5.$ The positive possibilities are $b=5,$ $b=10,$ or $b=15.$ The conditions $b\gt a\gt0$ leave only $b=10$ and $a=8.$ Hence $a_8=8(8)+13(10)=194.$

Thus the correct answer is D.

1992 AMC 12 Problema 18

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años