Question

Una esfera con centro $O$ tiene radio $6.$ Un triángulo con lados de longitud $15, 15,$ y $24$ está situado en el espacio de modo que cada uno de sus lados es tangente a la esfera. ¿Cuál es la distancia entre $O$ y el plano determinado por el triángulo?

A sphere with center $O$ has radius $6.$ A triangle with sides of length $15, 15,$ and $24$ is situated in space so that each of its sides is tangent to the sphere. What is the distance between $O$ and the plane determined by the triangle?

$2\sqrt{3}$

$4$

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{5}$

$5$

Solución:

La esfera interseca el plano del triángulo en un círculo de radio $\sqrt{36 - d^2},$ donde $d$ es la distancia de $O$ al plano. Como cada lado es tangente a la esfera, este círculo es el incírculo del triángulo.

El triángulo tiene área $\tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108$ y semiperímetro $27,$ así que su inradio es $\dfrac{108}{27} = 4.$

Así $\sqrt{36 - d^2} = 4,$ lo que da $d^2 = 20$ y $d = 2\sqrt{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The sphere intersects the triangle's plane in a circle of radius $\sqrt{36 - d^2},$ where $d$ is the distance from $O$ to the plane. Since each side is tangent to the sphere, this circle is the triangle's incircle.

The triangle has area $\tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108$ and semiperimeter $27,$ so its inradius is $\dfrac{108}{27} = 4.$

Thus $\sqrt{36 - d^2} = 4,$ giving $d^2 = 20$ and $d = 2\sqrt{5}.$

Thus, the correct answer is D.

2019 AMC 12A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años