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2008 AMC 12B Problema 18

Intenta el Problema 18 del 2008 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

Una pirámide tiene una base cuadrada ABCDABCD y vértice E.E. El área del cuadrado ABCDABCD es 196,196, y las áreas de △ABE\triangle ABE y △CDE\triangle CDE son 105105 y 91,91, respectivamente. ¿Cuál es el volumen de la pirámide?
A pyramid has a square base ABCDABCD and vertex E.E. The area of square ABCDABCD is 196,196, and the areas of △ABE\triangle ABE and △CDE\triangle CDE are 105105 and 91,91, respectively. What is the volume of the pyramid?
392392
1966196\sqrt{6}
3922392\sqrt{2}
3923392\sqrt{3}
784784
Respuesta: E
Conceptos:pirámidevolumenFórmula de Herón
Nivel de dificultad: 1910
Pista pequeña:
La base tiene lado 14;14; las áreas dadas de los triángulos dan las distancias oblicuas EF=2⋅10514EF = \tfrac{2 \cdot 105}{14} y EG=2⋅9114EG = \tfrac{2 \cdot 91}{14} a los lados ABAB y CDCD.
The base has side 14;14; the given triangle areas give slant distances EF=2⋅10514EF = \tfrac{2 \cdot 105}{14} and EG=2⋅9114EG = \tfrac{2 \cdot 91}{14} to sides ABAB and CDCD
Pista grande:
El triángulo EFGEFG tiene lados 15,13,1415, 13, 14 y es perpendicular a la base; su altura hacia FG=14FG = 14 es la altura de la pirámide.
Triangle EFGEFG has sides 15,13,1415, 13, 14 and stands perpendicular to the base; its altitude to FG=14FG = 14 is the pyramid’s height
Solución:
El cuadrado tiene lado 196=14.\sqrt{196} = 14. Sean FF y GG los pies de las perpendiculares desde EE a ABAB y CD.CD. Entonces FG=14,FG = 14, EF=2⋅10514=15,EF = \tfrac{2 \cdot 105}{14} = 15, y EG=2⋅9114=13.EG = \tfrac{2 \cdot 91}{14} = 13.
El triángulo EFGEFG está en un plano perpendicular a la base, así que su altura hacia FGFG es la altura de la pirámide. Por la fórmula de Herón con s=21,s = 21, su área es 21⋅6⋅8⋅7=84,\sqrt{21 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7} = 84, así que la altura hacia FGFG es 2⋅8414=12.\tfrac{2 \cdot 84}{14} = 12.
El volumen es 13⋅196⋅12=784.\tfrac13 \cdot 196 \cdot 12 = 784.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The square has side 196=14.\sqrt{196} = 14. Let FF and GG be the feet of the perpendiculars from EE to ABAB and CD.CD. Then FG=14,FG = 14, EF=2⋅10514=15,EF = \tfrac{2 \cdot 105}{14} = 15, and EG=2⋅9114=13.EG = \tfrac{2 \cdot 91}{14} = 13.
Triangle EFGEFG lies in a plane perpendicular to the base, so its altitude to FGFG is the pyramid’s height. By Heron’s formula with s=21,s = 21, its area is 21⋅6⋅8⋅7=84,\sqrt{21 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7} = 84, so the altitude to FGFG is 2⋅8414=12.\tfrac{2 \cdot 84}{14} = 12.
The volume is 13⋅196⋅12=784.\tfrac13 \cdot 196 \cdot 12 = 784.
Thus, the correct answer is E.
Problema 17#17
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Problema 19#19

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