Question

Una pirámide tiene una base cuadrada $ABCD$ y vértice $E.$ El área del cuadrado $ABCD$ es $196,$ y las áreas de $\triangle ABE$ y $\triangle CDE$ son $105$ y $91,$ respectivamente. ¿Cuál es el volumen de la pirámide?

A pyramid has a square base $ABCD$ and vertex $E.$ The area of square $ABCD$ is $196,$ and the areas of $\triangle ABE$ and $\triangle CDE$ are $105$ and $91,$ respectively. What is the volume of the pyramid?

$392$

$196\sqrt{6}$

$392\sqrt{2}$

$392\sqrt{3}$

$784$

Solución:

El cuadrado tiene lado $\sqrt{196} = 14.$ Sean $F$ y $G$ los pies de las perpendiculares desde $E$ a $AB$ y $CD.$ Entonces $FG = 14,$ $EF = \tfrac{2 \cdot 105}{14} = 15,$ y $EG = \tfrac{2 \cdot 91}{14} = 13.$

El triángulo $EFG$ está en un plano perpendicular a la base, así que su altura hacia $FG$ es la altura de la pirámide. Por la fórmula de Herón con $s = 21,$ su área es $\sqrt{21 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7} = 84,$ así que la altura hacia $FG$ es $\tfrac{2 \cdot 84}{14} = 12.$

El volumen es $\tfrac13 \cdot 196 \cdot 12 = 784.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The square has side $\sqrt{196} = 14.$ Let $F$ and $G$ be the feet of the perpendiculars from $E$ to $AB$ and $CD.$ Then $FG = 14,$ $EF = \tfrac{2 \cdot 105}{14} = 15,$ and $EG = \tfrac{2 \cdot 91}{14} = 13.$

Triangle $EFG$ lies in a plane perpendicular to the base, so its altitude to $FG$ is the pyramid's height. By Heron's formula with $s = 21,$ its area is $\sqrt{21 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7} = 84,$ so the altitude to $FG$ is $\tfrac{2 \cdot 84}{14} = 12.$

The volume is $\tfrac13 \cdot 196 \cdot 12 = 784.$

Thus, the correct answer is E.

2008 AMC 12B Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años