Question

¿Cuántos ceros tiene $f(x) = \cos(\log x)$ en el intervalo $0 \lt x \lt 1$ ?

How many zeros does $f(x) = \cos(\log x)$ have on the interval $0 \lt x \lt 1?$

$0$

$1$

$2$

$10$

infinitos

infinitely many

Respuesta: E

Conceptos:trigonometría logaritmo función

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Cuando $x$ recorre $(0, 1),$ ¿qué valores toma $\log x$ ?

As $x$ ranges over $(0, 1),$ what values does $\log x$ take?

Pista grande:

$\log x$ cubre todos los números negativos, y el coseno se anula en infinitos de ellos.

$\log x$ covers all negative numbers, and cosine vanishes at infinitely many of them

Solución:

Cuando $x$ recorre $(0, 1),$ $\log x$ recorre todos los números reales negativos. La función coseno es cero en $\tfrac{\pi}{2} - n\pi$ para todo entero positivo $n,$ todos ellos negativos, así que $f$ tiene infinitos ceros.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

As $x$ ranges over $(0, 1),$ $\log x$ ranges over all negative real numbers. The cosine function is zero at $\tfrac{\pi}{2} - n\pi$ for every positive integer $n,$ all of which are negative, so $f$ has infinitely many zeros.

Thus, the correct answer is E.

1999 AMC 12 Problema 18

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años