Question

Para $k \gt 0,$ sea $I_k = 10\ldots064,$ donde hay $k$ ceros entre el $1$ y el $6.$ Sea $N(k)$ el número de factores de $2$ en la factorización prima de $I_k.$ ¿Cuál es el valor máximo de $N(k)$ ?

For $k \gt 0,$ let $I_k = 10\ldots064,$ where there are $k$ zeros between the $1$ and the $6.$ Let $N(k)$ be the number of factors of $2$ in the prime factorization of $I_k.$ What is the maximum value of $N(k)?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Solución:

Nota que $I_k = 10^{k+2} + 64$ $= 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6.$

Para $k \lt 4$ el primer término tiene menos de $6$ factores de $2,$ así que $N(k) \lt 6.$ Para $k \gt 4$ el primer término es divisible por $2^7$ pero el término $2^6$ no lo es, así que $N(k) \lt 7.$

Para $k = 4,$ $I_4 = 2^6(5^6 + 1).$ Como $5^6 + 1$ $= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)$ $= 26\cdot 601,$ y $26 = 2\cdot 13$ aporta exactamente un factor de $2$ más, obtenemos $N(4) = 7.$

Así que el valor máximo es $7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Note that $I_k = 10^{k+2} + 64$ $= 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6.$

For $k \lt 4$ the first term has fewer than $6$ factors of $2,$ so $N(k) \lt 6.$ For $k \gt 4$ the first term is divisible by $2^7$ but the $2^6$ term is not, so $N(k) \lt 7.$

For $k = 4,$ $I_4 = 2^6(5^6 + 1).$ Since $5^6 + 1$ $= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)$ $= 26\cdot 601,$ and $26 = 2\cdot 13$ contributes exactly one more factor of $2,$ we get $N(4) = 7.$

So the maximum value is $7.$

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 12A Problema 18

Solución:

El Problema 18 en otros años