Question

Andrea inscribió un círculo dentro de un pentágono regular, circunscribió un círculo alrededor del pentágono, y calculó el área de la región entre los dos círculos. Bethany hizo lo mismo con un heptágono regular ( $7$ lados). Las áreas de las dos regiones fueron $A$ y $B,$ respectivamente. Cada polígono tenía longitud de lado $2.$ ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Andrea inscribed a circle inside a regular pentagon, circumscribed a circle around the pentagon, and calculated the area of the region between the two circles. Bethany did the same with a regular heptagon ( $7$ sides). The areas of the two regions were $A$ and $B,$ respectively. Each polygon had a side length of $2.$ Which of the following is true?

$A = \dfrac{25}{49}B$

$A = \dfrac{5}{7}B$

$A = B$

$A = \dfrac{7}{5}B$

$A = \dfrac{49}{25}B$

Respuesta: C

Conceptos:polígono regular Teorema de Pitágoras área del círculo

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Para un polígono regular de lado $2,$ sean $r$ y $R$ el inradio y el circunradio, y observa el centro, el punto medio de un lado y su extremo.

For a regular polygon with side $2,$ let $r$ and $R$ be the inradius and circumradius, and look at the center, a side’s midpoint, and its endpoint

Pista grande:

Ese triángulo rectángulo tiene catetos $r$ y $1$ e hipotenusa $R,$ así que $R^2 - r^2 = 1$ sin importar el número de lados.

That right triangle has legs $r$ and $1$ and hypotenuse $R,$ so $R^2 - r^2 = 1$ regardless of the number of sides

Solución:

Para un polígono regular de lado $2,$ sea $O$ el centro, $M$ el punto medio de un lado, y $N$ un extremo de ese lado. Entonces $\triangle OMN$ tiene un ángulo recto en $M,$ con $MN = 1,$ $OM = r$ (inradio), y $ON = R$ (circunradio).

Así que $R^2 - r^2 = 1,$ y el área entre los círculos es $\pi(R^2 - r^2) = \pi$ para cualquier número de lados. Por lo tanto $A = B.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For a regular polygon with side length $2,$ let $O$ be the center, $M$ the midpoint of a side, and $N$ an endpoint of that side. Then $\triangle OMN$ has a right angle at $M,$ with $MN = 1,$ $OM = r$ (inradius), and $ON = R$ (circumradius).

So $R^2 - r^2 = 1,$ and the area between the circles is $\pi(R^2 - r^2) = \pi$ for any number of sides. Hence $A = B.$

Thus, the correct answer is C.

2009 AMC 12A Problema 19

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años