Question

Sea $x$ el menor número real mayor que $1$ tal que $\sin(x) = \sin(x^2),$ donde los argumentos están en grados. ¿Cuánto vale $x$ redondeado hacia arriba al entero más cercano?

Let $x$ be the least real number greater than $1$ such that $\sin(x) = \sin(x^2),$ where the arguments are in degrees. What is $x$ rounded up to the closest integer?

$10$

$13$

$14$

$19$

$20$

Respuesta: B

Conceptos:trigonometría cuadrática

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

$\sin x = \sin x^2$ requiere $x^2 = x + 360k$ o $x^2 = 180 - x + 360k$ para un entero $k$

$\sin x = \sin x^2$ requires $x^2 = x + 360k$ or $x^2 = 180 - x + 360k$ for an integer $k$

Pista grande:

El menor $x \gt 1$ proviene de $x^2 = 180 - x$ (con $k = 0$ )

The smallest $x \gt 1$ comes from $x^2 = 180 - x$ (with $k = 0$ )

Solución:

Senos iguales requieren $x^2 = x + 360k$ o $x^2 = 180 - x + 360k$ para algún entero $k.$

La familia $x^2 = x + 360k$ supera por primera vez $1$ en $k = 1,$ dando $x \approx 19.5.$ La familia $x^2 = 180 - x + 360k$ con $k = 0$ da $x^2 + x - 180 = 0,$ así que $x = \dfrac{-1 + \sqrt{721}}{2} \approx 12.93,$ que es menor.

Redondeado hacia arriba, $x = 13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Equal sines require $x^2 = x + 360k$ or $x^2 = 180 - x + 360k$ for some integer $k.$

The family $x^2 = x + 360k$ first exceeds $1$ at $k = 1,$ giving $x \approx 19.5.$ The family $x^2 = 180 - x + 360k$ with $k = 0$ gives $x^2 + x - 180 = 0,$ so $x = \dfrac{-1 + \sqrt{721}}{2} \approx 12.93,$ which is smaller.

Rounded up, $x = 13.$

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12A Fall Problema 19

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años