Question

Las circunferencias con centros $(2, 4)$ y $(14, 9)$ tienen radios $4$ y $9,$ respectivamente. La ecuación de una tangente externa común a las circunferencias puede escribirse en la forma $y = mx + b$ con $m \gt 0.$ ¿Cuánto vale $b$ ?

Circles with centers $(2, 4)$ and $(14, 9)$ have radii $4$ and $9,$ respectively. The equation of a common external tangent to the circles can be written in the form $y = mx + b$ with $m \gt 0.$ What is $b?$

$\dfrac{908}{119}$

$\dfrac{909}{119}$

$\dfrac{130}{17}$

$\dfrac{911}{119}$

$\dfrac{912}{119}$

Respuesta: E

Conceptos:recta tangente identidad trigonométrica geometría analítica

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Cada circunferencia es tangente al eje $x$ , así que el eje $x$ es una tangente externa común.

Each circle is tangent to the $x$ -axis, so the $x$ -axis is one common external tangent

Pista grande:

Las dos tangentes externas se cortan en la recta que pasa por los centros, cuya pendiente es $\tfrac{5}{12} = \tan\theta;$ la otra tangente tiene pendiente $\tan 2\theta$ .

The two external tangents meet on the line through the centers, whose slope is $\tfrac{5}{12} = \tan\theta;$ the other tangent has slope $\tan 2\theta$

Solución:

El radio de cada circunferencia es igual a la coordenada $y$ de su centro, así que ambas son tangentes al eje $x$ , que es una tangente externa común. Las dos tangentes externas se cortan en la intersección con el eje $x$ de la recta que pasa por los centros.

Esa recta tiene pendiente $\tfrac{9 - 4}{14 - 2} = \tfrac{5}{12} = \tan\theta$ y pasa por $(2, 4),$ cortando al eje $x$ en $\left(-\tfrac{38}{5}, 0\right).$

La otra tangente forma un ángulo $2\theta$ con el eje $x$ , así que su pendiente es $\tan 2\theta = \frac{2 \cdot \tfrac{5}{12}}{1 - \left(\tfrac{5}{12}\right)^2} = \frac{120}{119}.$ Entonces $b = \tfrac{120}{119} \cdot \tfrac{38}{5} = \tfrac{912}{119}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each circle’s radius equals its center’s $y$ -coordinate, so both are tangent to the $x$ -axis, which is a common external tangent. The two external tangents meet at the $x$ -intercept of the line through the centers.

That line has slope $\tfrac{9 - 4}{14 - 2} = \tfrac{5}{12} = \tan\theta$ and passes through $(2, 4),$ meeting the $x$ -axis at $\left(-\tfrac{38}{5}, 0\right).$

The other tangent makes angle $2\theta$ with the $x$ -axis, so its slope is $\tan 2\theta = \frac{2 \cdot \tfrac{5}{12}}{1 - \left(\tfrac{5}{12}\right)^2} = \frac{120}{119}.$ Then $b = \tfrac{120}{119} \cdot \tfrac{38}{5} = \tfrac{912}{119}.$

Thus, the correct answer is E.

2006 AMC 12A Problema 19

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años