Question

En $\triangle ABC$ las medianas $\overline{AD}$ y $\overline{BE}$ se cortan en $G$ y $\triangle AGE$ es equilátero. Entonces $\cos(C)$ se puede escribir como $\dfrac{m\sqrt p}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí y $p$ es un entero positivo no divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $m + n + p$ ?

In $\triangle ABC$ medians $\overline{AD}$ and $\overline{BE}$ intersect at $G$ and $\triangle AGE$ is equilateral. Then $\cos(C)$ can be written as $\dfrac{m\sqrt p}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers and $p$ is a positive integer not divisible by the square of any prime. What is $m + n + p?$

$44$

$48$

$52$

$56$

$60$

Solución:

Sea $a = BC,$ $b = CA,$ $c = AB.$ Como $E$ es el punto medio de $AC,$ $AE = \tfrac{b}{2}.$ El baricentro da $AG = \tfrac23 m_a$ y $GE = \tfrac13 m_b,$ donde $m_a, m_b$ son las medianas desde $A$ y $B.$

Que $\triangle AGE$ sea equilátero significa $AG = GE = AE.$ De $\tfrac23 m_a = \tfrac{b}{2}$ obtenemos $m_a = \tfrac34 b,$ que junto con $m_a^2 = \tfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$ da $2c^2 - a^2 = \tfrac{b^2}{4}.$ De $\tfrac13 m_b = \tfrac{b}{2}$ obtenemos $m_b = \tfrac32 b,$ lo que da $a^2 + c^2 = 5b^2.$

Resolviendo, $c^2 = \tfrac{7b^2}{4}$ y $a^2 = \tfrac{13b^2}{4}.$ Tomando $b = 2$ se obtiene $a^2 = 13,$ $c^2 = 7,$ así que $\begin{aligned} \cos C &= \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \\ &= \dfrac{13 + 4 - 7}{2 \cdot \sqrt{13} \cdot 2} \\ &= \dfrac{5\sqrt{13}}{26}. \end{aligned}$

Entonces $m + n + p = 5 + 26 + 13 = 44.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $a = BC,$ $b = CA,$ $c = AB.$ Since $E$ is the midpoint of $AC,$ $AE = \tfrac{b}{2}.$ The centroid gives $AG = \tfrac23 m_a$ and $GE = \tfrac13 m_b,$ where $m_a, m_b$ are the medians from $A$ and $B.$

Equilateral $\triangle AGE$ means $AG = GE = AE.$ From $\tfrac23 m_a = \tfrac{b}{2}$ we get $m_a = \tfrac34 b,$ which with $m_a^2 = \tfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$ gives $2c^2 - a^2 = \tfrac{b^2}{4}.$ From $\tfrac13 m_b = \tfrac{b}{2}$ we get $m_b = \tfrac32 b,$ giving $a^2 + c^2 = 5b^2.$

Solving, $c^2 = \tfrac{7b^2}{4}$ and $a^2 = \tfrac{13b^2}{4}.$ Taking $b = 2$ gives $a^2 = 13,$ $c^2 = 7,$ so $\begin{aligned} \cos C &= \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \\ &= \dfrac{13 + 4 - 7}{2 \cdot \sqrt{13} \cdot 2} \\ &= \dfrac{5\sqrt{13}}{26}. \end{aligned}$

Then $m + n + p = 5 + 26 + 13 = 44.$

Thus, the correct answer is A.

2022 AMC 12B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años