Question

Sea $E$ el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero convexo $ABCD,$ y sean $P,$ $Q,$ $R$ y $S$ los centros de las circunferencias circunscritas a los triángulos $ABE,$ $BCE,$ $CDE$ y $ADE,$ respectivamente. Entonces

Let $E$ be the point of intersection of the diagonals of convex quadrilateral $ABCD,$ and let $P,$ $Q,$ $R$ and $S$ be the centers of the circles circumscribing triangles $ABE,$ $BCE,$ $CDE$ and $ADE,$ respectively. Then

$PQRS$ es un paralelogramo

$PQRS$ is a parallelogram

$PQRS$ es un paralelogramo si y solo si $ABCD$ es un rombo

$PQRS$ is a parallelogram if and only if $ABCD$ is a rhombus

$PQRS$ es un paralelogramo si y solo si $ABCD$ es un rectángulo

$PQRS$ is a parallelogram if and only if $ABCD$ is a rectangle

$PQRS$ es un paralelogramo si y solo si $ABCD$ es un paralelogramo

$PQRS$ is a parallelogram if and only if $ABCD$ is a parallelogram

ninguna de las anteriores es verdadera

none of the above are true

Respuesta: A

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio mediatriz paralelogramo

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Dos circuncentros adyacentes están sobre la mediatriz del lado que comparten sus triángulos

Two adjacent circumcenters lie on the perpendicular bisector of the side shared by their triangles

Pista grande:

Usa que $A,$ $E,$ $C$ son colineales y que $B,$ $E,$ $D$ son colineales

Use the fact that $A,$ $E,$ $C$ are collinear and $B,$ $E,$ $D$ are collinear

Solución:

Tanto $P$ como $Q$ están en la mediatriz de $BE,$ mientras que $R$ y $S$ están en la mediatriz de $DE.$ Como $B,$ $E,$ $D$ son colineales, estas mediatrices son paralelas, de modo que $PQ\parallel RS.$ Del mismo modo, $Q,$ $R$ están en la mediatriz de $CE,$ y $S,$ $P$ están en la de $AE.$ Como $A,$ $E,$ $C$ son colineales, $QR\parallel SP.$ Por lo tanto, $PQRS$ siempre es un paralelogramo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Both $P$ and $Q$ lie on the perpendicular bisector of $BE,$ while both $R$ and $S$ lie on the perpendicular bisector of $DE.$ Since $B,$ $E,$ $D$ are collinear, these bisectors are parallel, so $PQ\parallel RS.$ Likewise, $Q,$ $R$ lie on the perpendicular bisector of $CE,$ and $S,$ $P$ lie on that of $AE.$ Since $A,$ $E,$ $C$ are collinear, $QR\parallel SP.$ Therefore $PQRS$ is always a parallelogram.

Therefore, the correct answer is A.

1977 AMC 12 Problema 19

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años