Question

Existe una única sucesión estrictamente creciente de enteros no negativos $a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_k$ tal que $\frac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_k}.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

There exists a unique strictly increasing sequence of nonnegative integers $a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_k$ such that $\frac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_k}.$ What is $k?$

$117$

$136$

$137$

$273$

$306$

Solución:

Sea $x = 2^{17}.$ Entonces $\dfrac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1}$ $= \dfrac{x^{17} + 1}{x + 1}$ $= x^{16} - x^{15} + \cdots - x + 1,$ una suma alternada de las $17$ potencias $x^0, x^1, \ldots, x^{16}.$

Empareja cada potencia restada con la potencia sumada justo por encima de ella: $x^{m+1} - x^m$ $= 2^{17m}(2^{17} - 1)$ $= 2^{17m} + 2^{17m+1}$ $+ \cdots + 2^{17m+16},$ un bloque de $17$ potencias consecutivas de $2.$

Hay $8$ pares de este tipo, junto con el sobrante $+2^0.$ Los bloques ocupan rangos disjuntos, así que el número total de potencias es $8 \cdot 17 + 1 = 137.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $x = 2^{17}.$ Then $\dfrac{2^{289} + 1}{2^{17} + 1}$ $= \dfrac{x^{17} + 1}{x + 1}$ $= x^{16} - x^{15} + \cdots - x + 1,$ an alternating sum of the $17$ powers $x^0, x^1, \ldots, x^{16}.$

Pair each subtracted power with the added power just above it: $x^{m+1} - x^m$ $= 2^{17m}(2^{17} - 1)$ $= 2^{17m} + 2^{17m+1}$ $+ \cdots + 2^{17m+16},$ a block of $17$ consecutive powers of $2.$

There are $8$ such pairs, together with the leftover $+2^0.$ The blocks occupy disjoint ranges, so the total number of powers is $8 \cdot 17 + 1 = 137.$

Thus, C is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años