Question

El rombo $ABCD,$ con longitud de lado $6,$ se enrolla para formar un cilindro de volumen $6$ pegando $\overline{AB}$ a $\overline{DC}.$ ¿Cuánto vale $\sin(\angle ABC)$ ?

Rhombus $ABCD,$ with side length $6,$ is rolled to form a cylinder of volume $6$ by taping $\overline{AB}$ to $\overline{DC}.$ What is $\sin(\angle ABC)?$

$\dfrac{\pi}{9}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\pi}{6}$

$\dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Solución:

Sea $\theta=\angle ABC.$ El círculo de la base tiene circunferencia $6,$ así que su radio es $\dfrac{6}{2\pi}=\dfrac3\pi.$ La altura del cilindro es la altura del rombo $6\sin\theta.$

El volumen es $\pi\left(\dfrac3\pi\right)^2(6\sin\theta)=\dfrac{54}{\pi}\sin\theta=6,$ así que $\sin\theta=\dfrac{\pi}{9}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $\theta=\angle ABC.$ The base circle has circumference $6,$ so its radius is $\dfrac{6}{2\pi}=\dfrac3\pi.$ The height of the cylinder is the rhombus altitude $6\sin\theta.$

The volume is $\pi\left(\dfrac3\pi\right)^2(6\sin\theta)=\dfrac{54}{\pi}\sin\theta=6,$ so $\sin\theta=\dfrac{\pi}{9}.$

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años