Question

菱形 $ABCD$ 的边长为 $6$ 。把 $\overline{AB}$ 与 $\overline{DC}$ 粘在一起，卷成体积为 $6$ 的圆柱。求 $\sin(\angle ABC)$ 。

Rhombus $ABCD,$ with side length $6,$ is rolled to form a cylinder of volume $6$ by taping $\overline{AB}$ to $\overline{DC}.$ What is $\sin(\angle ABC)?$

$\dfrac{\pi}{9}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\pi}{6}$

$\dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

答案：A

知识点：圆柱菱形三角学

难度评级：1830

小提示：

粘合 $\overline{AB}$ 与 $\overline{DC}$ 后，长度 $6$ 的边成为底面圆周长，所以半径为 $\frac{3}{\pi}$ 。

Taping $\overline{AB}$ to $\overline{DC}$ makes a side of length $6$ the base circumference, so the radius is $\frac{3}{\pi}$

大提示：

圆柱高是菱形的高 $6\sin\theta$ ；令体积等于 $6$ 。

The cylinder’s height is the rhombus altitude $6\sin\theta;$ set the volume equal to $6$

解答：

令 $\theta=\angle ABC$ 。底面圆周长为 $6$ ，所以半径为 $\dfrac{6}{2\pi}=\dfrac3\pi$ 。圆柱高为菱形的高 $6\sin\theta$ 。

体积为 $\pi\left(\dfrac3\pi\right)^2(6\sin\theta)=\dfrac{54}{\pi}\sin\theta=6\text{，}$ 所以 $\sin\theta=\dfrac{\pi}{9}$ 。

所以正确答案是 A。

Let $\theta=\angle ABC.$ The base circle has circumference $6,$ so its radius is $\dfrac{6}{2\pi}=\dfrac3\pi.$ The height of the cylinder is the rhombus altitude $6\sin\theta.$

The volume is $\pi\left(\dfrac3\pi\right)^2(6\sin\theta)=\dfrac{54}{\pi}\sin\theta=6,$ so $\sin\theta=\dfrac{\pi}{9}.$

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12B 第 19 题

答案：A

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

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