Question

若 $x$ 与 $y$ 均为正整数，则满足方程 $x^4y^4-10x^2y^2+9=0$ 的互异有序对 $(x,y)$ 的个数为：

The number of distinct ordered pairs $(x,y),$ where $x$ and $y$ have positive integral values satisfying the equation $x^4y^4-10x^2y^2+9=0,$ is:

$0$

$3$

$4$

$12$

无穷多个

infinite

答案：B

知识点：丢番图方程因式分解数对计数

难度评级：1640

小提示：

将 $x^2y^2$ 看作一个变量

Treat $x^2y^2$ as one variable

大提示：

因式分解后，把可能的值转化为对正整数乘积 $xy$ 的条件

After factoring, translate the possible values into conditions on the positive integer product $xy$

解答：

令 $u=x^2y^2$ 。则 $\begin{aligned} u^2-10u+9&=0,\\ (u-1)(u-9)&=0 \end{aligned}\text{。}$ 因为 $x$ 和 $y$ 都是正整数，所以 $xy=1$ 或 $xy=3$ 。这些有序对为 $(1,1)$ 、 $(1,3)$ 、 $(3,1)$ ，共 $3$ 个。

所以正确答案是 B。

Let $u=x^2y^2.$ Then $\begin{aligned} u^2-10u+9&=0,\\ (u-1)(u-9)&=0. \end{aligned}$ Since $x$ and $y$ are positive integers, this means $xy=1$ or $xy=3.$ The pairs are $(1,1),$ $(1,3),$ and $(3,1),$ for a total of $3.$

Therefore, the correct answer is B.

1969 AMC 12 第 19 题

答案：B

难度评级：1640

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题